www.thuvienhoclieu.com
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA.
Bài 1.
Cho dãy số
n
a
xác định bởi :
1
3
2
1
2
1
2
2
2
3
4
1
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
. Chứng minh rằng với mọi số thực
0
a
thì dãy
n
a
hội tụ. Tùy theo
a
, hãy tìm giới hạn của dãy
n
a
.
Hướng dẫn giải
Nếu
0
a
thì
1
2
a
a
(do bất đẳng thức AM-GM).
Nếu
0
a
thì
1
2
a
a
(do bất đẳng thức AM-GM) nên
1
2
a
a
.
Nếu
1
a
thì
1
2
a
. Ta chứng minh:
*
2 ,
n
a
n
.
Hiển nhiên
1
2
a
.
Giả sử
3
2
1
2
2.2
2.2
2
2
2
3.2
4.2
1
k
k
a
a
.
Vậy
lim
lim 2
2
n
a
.
. Nếu
0
1
a
a
thì
1
2
a
. Ta chứng minh
*
2
n
a
n
.
Rõ ràng
1
2
a
.
.
Giả sử
2
k
a
. Ta chứng minh
1
2
k
a
.
3
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
0
3
4
1
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
a
( đúng).
Ta chứng minh
n
a
là dãy giảm, thật vậy :.
2
3
2
1
2
2
1
2
2
2
,
0
3
4
1
3
4
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
a
.
( do tử âm, mẫu dương vì.
2
2
7
3
3
4
1
0
2
7
3
n
n
n
n
a
a
a
a
.
www.thuvienhoclieu.com
Trang 1
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần