NHÓM TOÁN THCS HÀ NỘI https://www.facebook.com/groups/650500558651229/
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
VÒNG 2
KIỂM TRA KHẢO SÁT THI VÀO 10
NĂM HỌC 2021 - 2022
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 90 phút
Câu 1. (2,0 điểm). Cho
,
,
x y z
là các số thực dương thỏa mãn
(
)
1
xyz x
y
z
. Chứng minh rằng
2
2
2
2
2
2
1
1
1
(
)(
)(
)
x
y
z
x
y
y
z
z
x
y
z
z
.
Câu 2. (3,0 điểm).
1) Cho hai số thực không âm
,
a b
thỏa mãn
2
a
b
. Chứng minh
2
2
2
2
2
2
(
)
1
1
1
(
)
a
b
a
b
a
b
a
b
2) Tìm tất cả các số nguyên tố
,
p q
thỏa mãn
2
1
p
q
p
q
q
p
Câu 3. (1,0 điểm). Cho tập hợp
S
có các phần tử là các số thực,
S
chứa tất cả các số nguyên và
đóng đối với phép cộng và nhân, tức là với hai phần tử bất kỳ
,
x
y
thuộc
S
ta có
x
y
và
.
x y
đều
thuộc
S
. Biết rằng:
2020
2021
thuộc
S
, chứng minh
2020
2021
thuộc S.
Câu 4
(3,0 điểm). Cho đường tròn
O
và dây cung
AB
cố định, không là đường kính. Điểm
M
thay đổi
trên đoạn
AB
sao cho
,
M
A M
B
và
AM
MB
. Đường thẳng
vuông góc với
OM
tại
M
,
cắt đường tròn
O
tại
P
và
Q
. Đường tròn đường kính
AM
cắt đường tròn
O
tại điểm thứ hai
K K
A
và cắt đoạn thẳng
PQ
tại điểm thứ hai
D D
M
. Gọi
S
là giao điểm của
AK
với
PQ
,
F
là giao điểm của
SB
với dường tròn
O F
B
và
H
là trực tâm của tam giác
APQ
.
Chứng minh
a) Tứ giác
BMDF
nội tiếp.
b) Các điểm
M
,
H
,
K
thẳng hàng.
c) Đường thẳng
HF
luôn đi qua một điểm cố định khi
M
thay đổi trên đoạn
AB
.
Câu 5. (1,0 điểm). Cho tập hợp
1; 2;....; 2022
X
.
a) Xét tập con
M
của
X
gồm 1012 phần tử. Chứng minh rằng luôn có hai phần tử
,
a b
của
M
mà
a
b
và
b
là bội của
a
.
b) Tìm số nguyên dương
n
lớn nhất sao cho với mọi tập con
A
của
X
có 1348 phần tử thì trong
A
có ít nhất
n
cặp
;
a b
mà
a
b
và
b
là bội của
a
.
---HẾT---
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần