CHƯƠNG
Chuyên đề 20
ĐỊNH LÝ PTÔLÊMÊ
A.
Kiến thức cần nhớ
Ptôlêmê là nhà khoa học cổ Hy Lạp, sống vào thế kỷ 2. Từ năm 127 đến năm 151 sau
công nguyên, ông sống tại Alechxanđri (Ai Cập), nghiên cứu toán học, thiên văn học
và địa lý. Ông là tác giả của thuyết hệ vũ trụ địa tâm; là mô hình cấu trúc vũ trụ đầu
tiên, khẳng định một cách sai lầm rằng, các thiên thể chuyển động trên những vòng
tròn có tâm là tâm trái đất nằm yên, là cơ sở cho thiên văn học trong một thòi gian
dài cho đến thế kỷ 17, trước khi thuyết hệ nhật tâm của Kôpecnich ra đời.
Công trình toán học của ông khá phong phú, sau đây là một định lý mang tên ông.
Định lý. Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng các tích của hai
cặp cạnh đối diện.
Giải
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).
Ta cần chứng minh:
.
.
.
AB CD
AD BC
AC BD
Giả sử
DBC
ABD
Lấy điểm M trên đoạn
AC
sao cho
MBC
ABD
Suy ra
ABM
∽
DBC
Suy ra
AB
AM
BD
CD
.
.
AB CD
BD AM
CBM
∽
DBA
Suy ra
BC
CM
BD
AD
.
.
AD BC
BD CM
Do đó
.
.
.
.
AB CD
AD BC
BD AM CM
AC BD
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho nửa đường tròn
;
,
O R
đường kính AB có C là điểm chính giữa. Gọi M là
điểm bất kì thuộc cung BC. Chứng minh rằng:
.
2.
AM BM
CM
Giải
Tìm cách giải. Với
CA
CB
ta suy ra
CA
CB
và
biểu diễn được qua bán kính R. Vì M là điểm bất kì
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần