1

Tổng hợp kiến thức Hình học 7

1. Hai gãc ®èi ®Ønh lµ hai gãc mµ mçi c¹nh cña gãc nµy lµ tia ®èi cña mét c¹nh cña gãc

kia.

- Hai gãc ®èi ®Ønh th× b»ng nhau.

2. Hai ®­êng th¼ng vu«ng gãc lµ hai ®­êng th¼ng c¾t nhau t¹o thµnh bèn gãc vu«ng.

3. §­êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng lµ ®­êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm vµ vu«ng gãc víi

®o¹n th¼ng ®ã.

4. Hai ®­êng th¼ng song song lµ hai ®­êng th¼ng kh«ng cã ®iÓm chung.

*TÝnh chÊt cña hai ®­êng th¼ng song song

- NÕu ®­êng th¼ng c c¾t hai ®­êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã mét cÆp

gãc so le trong b»ng nhau th× :

+ Hai gãc so le trong cßn l¹i b»ng nhau

+ Hai gãc ®ång vÞ b»ng nhau

+ Hai gãc trong cïng phÝa bï nhau.

*DÊu hiÖu nhËn biÕt hai ®­êng th¼ng song song

- NÕu ®­êng th¼ng c c¾t hai ®­êng th¼ng a, b vµ trong c¸c gãc t¹o thµnh cã :

+ Mét cÆp gãc so le trong b»ng nhau

+ HoÆc mét cÆp gãc ®ång vÞ b»ng nhau

+ HoÆc hai gãc trong cïng phÝa bï nhau

th× a vµ b song song víi nhau

- Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng thø ba th× chóng song

song víi nhau.

- Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®­êng th¼ng thø ba th× chóng

song song víi nhau.

5. Tiªn ®Ò ¬ - clit vÒ ®­êng th¼ng song song

- Qua mét ®iÓm ë ngoµi mét ®­êng th¼ng chØ cã mét ®­êng th¼ng song song víi

®­êng th¼ng ®ã.

6. Tõ vu«ng gãc ®Õn song song

- Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng thø ba th× chóng song

song víi nhau.

- Mét ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi mét trong h¸i ®­êng th¼ng song song th× nã cu·ng

vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng kia.

- Hai ®­êng th¼ng ph©n biÖt cïng song song víi mét ®­êng th¼ng thø ba th× chóng

song song víi nhau.

7. Tæng ba gãc cña mét tam gi¸c

- Tæng ba gãc cña mét tam gi¸c b»ng 180

0

- Trong mét tam gi¸c vu«ng ,hai nhän phô nhau.

- Gãc ngoµi cña mét tam gi¸c lµ gãc kÒ bï víi mét gãc trong cña tam gi¸c Êy.

- Mçi gãc ngoµi cña mmät tam gi¸c b»ng tæng cña hai gãc trong kh«ng kÒ víi nã.

8. C¸c tr­êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c th­êng

2

*Tr­êng hîp 1 : C¹nh - c¹nh - c¹nh

- NÕu 3 c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng 3 c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng

nhau.

*Tr­ßng hîp 2 : C¹nh - gãc - canh

- NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña

tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau.

*Tr­êng hîp 3 : Gãc - c¹nh - gãc

NÕu mét c¹nh vµ hia gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam

gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau.

9. C¸c tam gi¸c ®Æc biÖt

a/ Tam gi¸c c©n

- §Þnh nghÜa : Tam gi¸c c©n lµ tam gi¸c cã hai c¹nh b»ng nhau.

- TÝnh chÊt : Trong tam gi¸c c©n hai gãc ë ®¸y b»ng nhau.

- C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n

+ C

1

: Chøng minh tam gi¸c cã 2 c¹nh b»ng nhau



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.

+ C

2

: Chøng minh tam gi¸c cã 2 gãc b»ng nhau



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.

+ C

3

: Chøng minh tam gi¸c cã 2 trong bèn ®­êng (®­êng trung tuyÕn, ®­êng

ph©n gi¸c, ®­êng cao cïng xuÊt ph¸t tõ mét ®Ønh vµ ®­êng trung trùc øng víi c¹nh ®èi diÖn

cña ®Ønh nµy) trïng nhau



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c c©n.

b/ Tam gi¸c vu«ng c©n

- §Þnh nghÜa : Tam gi¸c vu«ng c©n lµ tam gi¸c vu«ng cã hai c¹nh gãc vu«ng b»ng

nhau

- TÝnh chÊt : Trong tam gi¸c vu«ng c©n hai gãc ë ®¸y b»ng nhau vµ b»ng 45

0

- C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c vu«ng c©n

+ C

1

: Chøng minh tam gi¸c cã mét gãc vu«ng vµ hai c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng c©n.

+ C

2

: Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc cïng b»ng 45

0



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c

vu«ng c©n.

c/ Tam gi¸c ®Òu

- §Þnh nghÜa : Tam gi¸c ®Òu lµ tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau.

- TÝnh chÊt : Trong tam gi¸c ®Òu ba gãc b»ng nhau vµ b»ng 60

0

- C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c ®Òu

+ C

1

: Chøng minh tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu.

+ C

2

: Chøng minh tam gi¸c c©n cã mét gãc b»ng 60

0



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c

®Òu.

+ C

3

: Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng 60

0



Tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c ®Òu.

7.

C¸c tr­êng hîp b»ng nhau cña hai tam gi¸c vu«ng

*Tr­êng hîp 1 : Hai c¹nh gãc vu«ng

3

- NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam

gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

*Tr­êng hîp 2 : C¹nh gãc vu«ng vµ gãc nhän kÒ

- NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét

c¹nh gãc vu«ng vµ gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã

b»ng nhau.

*Tr­êng hîp 3 : C¹nh huyÒn vµ gãc nhän

- NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét

gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

*Tr­êng hîp 4 : C¹nh huyÒn vµ c¹nh gãc vu«ng

- NÕu c¹nhu huyÒn vµ mét c¹nh gãc vu«ng cña t¸m gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn

vµ métc¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.

8.

§Þnh lÝ Pytago thuËn, ®¶o.

*§Þnh lÝ Pytago thuËn (¸p dông cho tam gi¸c vu«ng)

- Trong mét tam gi¸c vu«ng, b×nh ph­¬ng cña c¹nh huyÒn b»ng tæng c¸c b×nh

ph­¬ng cña hai c¹nh gãc vu«ng.

NÕu tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A th× ta cã : BC

2

= AB

2

+ AC

2

*§Þnh lÝ Pytago ®¶o (¸p dông ®Ó kiÓm tra mét tam gi¸c cã ph¶i lµ tam gi¸c vu«ng kh«ng

khi biÕt ®é dµi 3 c¹nh ).

- Trong mét tam gi¸c, nÕu b×nh ph­¬ng cña mét c¹nh b»ng tæng c¸c b×nh ph­¬ng cña

hai c¹nh cßn l¹i th× tam gi¸c ®ã lµ tam gi¸c vu«ng.

(NÕu tam gi¸c ABC cã BC

2

= AB

2

+ AC

2

th× tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i

A)

9.

§Þnh lÝ vÒ quan hÖ gi÷a gãc vµ c¹nh ®èi diÖn trong mét tam gi¸c.

*§Þnh lÝ 1 : Trong mét tam gi¸c, gãc ®èi diÖn víi c¹nh lín h¬n lµ gãc lín h¬n.

NÕu tam gi¸c ABC cã AB > AC th×

B

C

ˆ

ˆ



*§Þnh lÝ 2 : Trong mét tam gi¸c, c¹nh ®èi diÖn víi gãc lín h¬n lµ c¹nh lín h¬n.

NÕu tam gi¸c ABC cã

B

A

ˆ

ˆ



th× BC > AC

10.

§Þnh lÝ vÒ mèi quan hÖ gi÷a ®­êng vu«ng gãc vµ ®­êng xiªn, ®­êng xiªn vµ h×nh

chiÕu.

* §Þnh lÝ 1 : Trong c¸c ®­êng xiªn vµ ®­êng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®iÓm ë ngoµi mét ®­êng

th¼ng ®Õn ®­êng th¼ng ®ã th× ®­êng vu«ng gãc lµ ®­êng ng¾n nhÊt.

*§Þnh lÝ 2 : Trong hai ®­êng xiªn kÌ tõ

11

. §Þnh lÝ vÒ mèi quan hÖ gi÷a ba c¹nh cña mét tam gi¸c, bÊt ®¼ng thøc tam gi¸c.

*§Þnh lÝ: Trong mét tam gi¸c, tæng ®é dµi hai c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh

cßn l¹i.

*HÖ qu¶: Trong mét tam gi¸c, hiÖu ®é dµi hai c¹nh bao giê còng lín h¬n ®é dµi c¹nh cßn

l¹i.

*NhËn xÐt: Trong mét tam gi¸c, ®é dµi cña mét c¹nh bÊt k× bao giê còng lín h¬n hiÖu vµ

nhá h¬n tæng c¸c ®é dµi cña hai c¹nh cßn l¹i.

4

Trong tam gi¸c ABC, víi c¹nh BC ta cã : AB – AC < BC < AB + AC

12.

C¸c ®­êng ®ång quy trong tam gi¸c

a/ TÝnh chÊt ba ®­êng trung tuyÕn cña tam gi¸c

- §­êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng nèi tõ mét ®Ønh cña tam gi¸c tíi

trung ®iÓm cña c¹nh ®èi diÖn.

- Ba ®­êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm ®ã c¸ch mçi

®Ønh mét kho¶ng b»ng

3

2

®é dµi ®­êng trung tuyÕn ®i qua ®Ønh Êy.

- Giao ®iÓm cña ba ®­êng trung tuyÕn cña mét tam gi¸c gäi lµ träng t©m cña tam

gi¸c ®ã.

b/ TÝnh chÊt vÒ tia ph©n gi¸c

*TÝnh chÊt tia ph©n gi¸c cña mét gãc

- §Þnh lÝ 1: §iÓm n»m trªn tia ph©n gi¸c cña mét gãc th× c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc

®ã.

- §Þnh lÝ 2: §iÓm n»m bªn trong mét gãc vµ c¸ch ®Òu hai c¹nh cña gãc th× n»m trªn

tia ph©n gi¸c cña gãc ®ã.

- NhËn xÐt: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch n»m bªn trong mét gãc vµ c¸ch ®Òu hai c¹nh cña

gãc lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ®ã.

* TÝnh chÊt ba ®­êng ph©n gi¸c cña tam gi¸c

- §Þnh lÝ : Ba ®­êng ph©n gi¸c cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy

c¸ch ®Òu ba c¹nh cña tam gi¸c ®ã.

c/ TÝnh chÊt vÒ ®­êng trung trùc

*TÝnh chÊt ®­êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng

- §Þnh lÝ 1: §iÓm n»m trªn ®­êng trung trùc cña mét ®o¹n th¼ng th× c¸ch ®Òu hai

mót cña ®o¹n th¼ng ®ã.

- §Þnh lÝ 2: §iÓm c¸ch ®Òu hai mót cña mét ®o¹n th¼ng th× n»m trªn ®­êng trung

trùc cña ®o¹n th¼ng ®ã.

- NhËn xÐt: TËp hîp c¸c ®iÓm c¸ch ®Òu hai mót cña mét ®o¹n th¼ng lµ ®­êng trung

trùc cña ®o¹n th¼ng ®ã.

*TÝnh chÊt ba ®­êng trung trùc cña mét tam gi¸c

- §­êng trung trùc cña mét tam gi¸c lµ ®­êng trung trùc cña mét c¹nh trong tam

gi¸c ®ã.

- Ba ®­êng trung trùc cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm. §iÓm nµy c¸ch ®Òu ba

®Ønh cña tam gi¸c ®ã.

- Giao ®iÓm cña ba ®­êng trung trùc trong mét tam gi¸c lµ t©m cña ®­êng trßn ngo¹i

tiÕp tam gi¸c ®ã.

d/ TÝnh chÊt vÒ ®­êng cao cña tam gi¸c

- §­êng cao cña tam gi¸c lµ ®o¹n th¼ng vu«ng gãc kÎ tõ mét ®Ønh ®Õn ®­êng th¼ng

chøa c¹nh ®èi diÖn.

- Ba ®­êng cao cña mét tam gi¸c cïng ®i qua mét ®iÓm.

5

- Giao ®iÓm cña ba ®­êng cao trong mét tam gi¸c gäi lµ trùc t©m cña tam gi¸c ®ã.

*VÒ c¸c ®­êng cao, trung tuyÕn, trung trùc, ph©n gi¸c cña tam gi¸c c©n.

- TÝnh chÊt cña tam gi¸c c©n : Trong mét tam gi¸c c©n, ®­êng trung trùc øng víi

c¹nh ®¸y ®ång thêi lµ ®­êng ph©n gi¸c, ®­êng trung tuyÕn, vµ ®­êng cao cïng xuÊt ph¸t tõ

®Ønh ®èi diÖn víi c¹nh ®ã.

- NhËn xÐt (C¸ch chøng minh mét tam gi¸c lµ tam gi¸c c©n): Trong mét tam gi¸c,

nÕu hai trong bèn lo¹i ®­êng (®­êng trung tuyÕn, ®­êng ph©n gi¸c, ®­êng cao cïng xuÊt

ph¸t tõ mét ®Ønh vµ ®­êng trung trùc øng víi c¹nh ®èi diÖn cña ®Ønh nµy) trïng nhau th×

tam gi¸c ®ã lµ mét tam gi¸c c©n.