.png)
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY - CÔ SI (AM – GM)
I.LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình
Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
Ở cấp THCS, Tài liệu xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
Với a b, 0 thì
2
a b ab
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b
Với a b c , , 0 thì 3
3
3
a b c abc , Dấu “ = “ khi và chỉ khi a b c
II.CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho x y z , , 0 , CMR : x y y z z x xyz 8
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số x y, 0 , ta có: x y xy 2 ,
Làm tương tự ta sẽ có : 2
2
y z yz
z x zx
, Nhân theo vế ta được: x y y z z x xyz 8
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
x y
y z x y z
z x
Bài 2: Cho a b c , , 0 và abc 1 , CMR: a b c 1 1 1 8
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm a,1 , ta có : a a 1 2
Tương tự ta sẽ có : 1 2
1 1 1 8 8
1 2
b b
a b c abc
c c
Dấu “ = “ khi và chỉ khi: a b c 1
Bài 3: Cho a b, không âm. CMR: a b ab ab 1 4
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm a b, , ta có : a b ab 2
Tương tự : ab ab 1 2 , nhân theo vế ta được : a b ab ab 1 4
Dấu “ = “ khi và chỉ khi 1