Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 1

TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP THỰC TẾ ĐÚNG SAI VÀ TRẢ LỜI NGẮN

(TỰ LUẬN) KINH ĐIỂN CHỦ ĐỀ MAX MIN HÀM SỐ 12

PHẦN I. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ

thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức

1

15

.

2

p

q





a) Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức

=

.

R

pq

b) Hàm doanh thu theo biến

p

là

(

)

30

2 .

R p

p





c) Nếu của hàng bán giá mỗi kilogam sản phẩm là 7,5 nghìn thì lợi nhuận cửa hàng cao

nhất.

d) Lợi nhuận cao nhất của cửa hàng là 112,5 nghìn đồng.

Đáp án: Đ-S-Đ-Đ

Lời giải

a) Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức

=

.

R

pq

b) Ta có

1

15

2(15

)

30

2 .

2

p

q

q

p

p





 







Khi đó

2

(30

2 )

30

2

R

pq

p

p

p

p











với

0.

p 

c) Ta có

'(

)

30

4 ;

'(

)

0

7, 5.

R p

p R p

p







 

Bảng biến thiên

Dựa vào BBT, ta có

(0;

)

max

(7, 5)

112, 5.

R

R







Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 2

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phẩm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sẽ đạt được doanh thu cao

nhất là 112,5 nghìn đồng.

Câu 2. Một chất điểm chuyển động theo phương trình





3

2

9

21

9

s

t

t

t

t

 







với

t

tính

bằng giây (s) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và

S

tính bằng mét

(m) là quãng đường vật đi trong thời gian đó.

a) Vận tốc của chất điểm chuyển động tại thời điểm

t

(giây) là





2

3

18

21

v t

t

t

 





.

b) Vận tốc của chất điềm tại giây thứ 2 là

45 m / s

.

c) Quãng đường chất điểm đi được từ lúc bắt đầu đến lúc dừng hẳn là





255 m

.

d) Vận tốc chuyền động của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điềm





3 s

t 

.

Câu 3. Một cửa hàng bán cam canh Cao Phong với giá là 40000 đồng/ 1 kg . Giá nhập vào

là 24000 đồng/ 1 kg . Với giá bán này cửa hàng bán được

100 kg /

ngày. Cửa hàng dự định

giảm giá bán, ước tính cứ giảm 1000 đồng/ 1 kg thì số cam canh Cao Phong bán được sẽ

tăng thêm là 10 kg .

a) Nếu giữ nguyên giá bán đầu, lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là 1500000 đồng.

b) Nếu giá bán là 35000 đồng/ 1 kg , khi đó cửa hàng bán được

150 kg /1

ngày.

c) Nếu giá bán là 30000 đồng/ 1 kg , khi đó lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là 1300000

đồng.

d) Lợi nhuận tối đa theo ngày của cửa hàng là 1690000 đồng.

Đáp án: S-Đ-S-Đ

Lời giải

a) Sai

Nếu giữ nguyên giá bán 40000 đồng/ 1 kg thì doanh thu theo ngày của cửa hàng là:

40000.100

4000000



đồng.

Chi phí nhập

100 kg /1

ngày là:

24000 100

2400000





(đồng).

Lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là:

4000000

2400000

1600000





(đồng).

b) Đúng

Gọi

x

(nghìn đồng) là giá mà cửa hàng định bán (

24

40

x





).

Số giá đã giảm là:

40

x



(nghìn đồng).

Theo bài ra, ta có số cam bán được theo ngày là









100

40

.10 kg

x





.

Khi

35

x 

, số cam bán được theo ngày là:

100

5.10

150 kg





.

c) Sai

Doanh thu của cửa hàng khi bán được





100

40

.10 kg

x





là:













100

40

10

500

10

T x

x

x

x

x























(nghìn đồng).

Chi phí để nhập số cam đó là:













100

40

10

24

500

10

24

C x

x

x

























(nghìn đồng).

Lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là:

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 3





















2

500

10

500

10

24

10

740

12000

L x

T x

C x

x

x

x

x

x













 





.

Nếu giá bán là 30000 đồng/ 1 kg thì lợi nhuận theo ngày của cửa hàng là:





2

30

10.30

740.30

12000

1200

L

 







(nghìn đồng).

d) Đúng

Ta có:









20

740;

0

37

L

x

x

L

x

x

 





 





.

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy tại x=37, thì lợi nhuận của cửa hàng đạt tối đa. Lợi nhuận tối đa là

(37)

1690000

L



đồng.

Câu 4. Một cơ sở sản xuất có thể cung cấp 1000 sản phẩm

A

trong 1 tháng. Qua khảo sát

thì thấy rằng nếu sản phẩm

A

bán với giá 100 nghìn đồng thì có 290 người mua, nếu cứ

giảm 10 nghìn đồng thì lại có thêm 50 người mua. Gọi

p

là giá bán sản phẩm

A

(nghìn

đồng) và





R p

là hàm doanh thu trong 1 tháng (nghìn đồng).

a) Số sản phẩm bán ra là

790

5 p



.

b) Hàm doanh thu





2

1000

790

5

R p

p

p







.

c) Phương trình





0

R

p





có nghiệm là

79

p 

.

d) Doanh thu lớn nhất trong 1 tháng là 31.205 .000 đồng.

Đáp án: Đ-S-Đ-Đ

Lời giải

a) Gọi





* ,

p

ax

b

x





là số sản phẩm bán ra.

Vì sản phẩm

A

bán với giá 100 nghìn đồng thì có 290 người mua nên ta có

100

p 

và

290

x 

thay vào phương trình (*) ta có





290

100 1

a

b





Vì cứ giảm 10 nghìn đồng thì lại có thêm 50 người mua nên ta có

p

90, x

340





thay vào

phương trình (*) ta có





340

90 2

a

b





Từ (1), (2) ta có hệ phương trình

1

290

100

5

340

90

158

a

b

a

a

b

b









 

























Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 4

Ta có

1

158

790

5

5

p

x

x

p

 



 



Vậy số sản phẩm bán ra là

790

5 p



.

Nên suy ra mệnh đề đúng.

b) Ta có doanh thu của cơ sở sản xuất là









2

790

5

5

790

R p

p

p

p

p







 



Nên suy ra mệnh đề sai.

c) Ta có





2

5

790

R p

p

p

 



nên





10

790

R

p

p

 









0

10

790

0

79

R

p

p

p



 





 



.

Nên suy ra mệnh đề đúng.

d) Ta có bảng biến thiên

Doanh thu lớn nhất trong tháng là





79

31205

R



nghìn đồng

31.205.000



đồng

Nên suy ra mệnh đề đúng.

Câu 5. (THPT Văn Giang - Hưng Yên 2025) Một chất điểm chuyển động theo phương

trình





3

2

3

8

1

s t

t

t

t









, trong đó

t

tính bằng giây và





s t

tính bằng mét.

a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm





3 s

t 

bằng

8 m / s

.

b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 13 m , vận tốc khi đó bằng

8 m / s

.

c) Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là

5 m / s

.

d) Gia tốc tại thời điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng

2

2 m / s

.

Đáp án: S-Đ-Đ-S

Lời giải

Phương trình vận tốc của chất điểm tại thời điểm

t

là:













'

2

[

]

3

6

8 m / s

v t

s t

t

t









.

Phương trình gia tốc của chất điểm tại thời điểm

t

là:













'

2

[

]

6

6 m / s

a t

v t

t







.

a) Sai: Vận tốc của chất điểm tại thời điểm





3 s

t 

bằng









2

3

3.3

6.3

8

17 m / s

v









.

b) Đúng: Tại thời điểm mà chất điểm đi chuyển được 13 m , vận tốc khi đó bằng

8 m / s

.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 5

Chất điểm di chuyển được 13 m có phương trình là:

3

2

13

3

8

1

2

t

t

t

t









 

.

Vận tốc của chất điểm tại thời điểm





2 s

t 

bằng









2

2

3.2

6.2

8

8 m / s

v









.

c) Đúng: Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là

5 m / s

.

Ta có:









'

2

2

[

]

3

6

8

3(

1)

5

5

v t

s t

t

t

t

t



















Do đó vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là

5 m / s

tại





1 s

t 

d) Sai: Gia tốc tại thời điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng

2

2 m / s

.

Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là

5 m / s

tại





1 s

t 

. Khi đó, gia tốc tại thời điểm





1 s

t 

bằng:









2

1

6.1

6

0 m / s

a







.

Vậy gia tốc tại thời điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng

2

0 m / s

.

Câu 6. (THPT Tiên Du - Bắc Ninh 2025) Người ta bơm xăng vào bình xăng của một xe ô

tô. Biết rằng thể tích

V

(tính theo lít) của lượng xăng trong bình xăng được tính theo thời

gian bơm xăng

t

(phút) được cho bởi công thức:













2

3

300

4,5 0

0, 5 .

V t

t

t

t











Gọi





V

t



là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm

t

với

0

0, 5

t





. Biết 1 lít xăng có giá là

21.000 đồng.

a) Lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là 1,5 lít.

b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Số tiền người mua phải trả là 787.500 đồng.

c) Khi xăng chảy vào bình xăng thì tốc độ tăng thể tích là lớn nhất vào thời điểm ở giây

thứ 21 .

d) Phương trình





0

V

t





có hai nghiệm phân biệt trên đoạn

1

0;

2













.

Đáp án: S-Đ-S-S

Lời giải

a) Sai. Vi lượng xăng ban đầu trong bình ban đầu là









2

3

0

300 0

0

4, 5

4, 5

V









lít.

b) Đúng. Ta có

30 s

0, 5



phút .

Suy ra









2

3

0, 5

300 0, 5

0, 5

4, 5

42

V









lit.

Khi đó số xăng đã mua là

42

4, 5

37, 5





.

Vậy số tiền người mua phải trả là

37, 5 21000

787500





đồng.

c) Sai. Xét hàm số









2

300 2

3

V

t

t

t







với

0

0, 5

t





.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 6

Suy ra









300 2

6

V

t

t







Khi đó









1

0

300 2

6

0

3

V

t

t

t









 





.

Với









1

0

0;

100;

0, 5

75

3

V

V

V

























.

Vậy









0;0,5

1

max

100

3

t

V

t

V























. Suy ra tại thời điểm ở giây thứ

1

60

20

3





thì tốc độ tăng

thể tích là lớn nhất.

d) Sai. Phương trình









2

0

0

300 2

3

0

2

1

0;

3

2

t

V

t

t

t

t









































.

Câu 7. (THPT Thạch Thành 1 - Thanh Hóa 2025) Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng

tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít

nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là





dm

x

, chiều cao của thùng là





dm

h

.

a) Thể tích của thùng là





2

3

dm

V

x

h





.

b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là:





2

2

4

S

xh

x

dm





.

c) Đạo hàm của hàm số





2

128

S

x

x

x





là





2

128

2

S

x

x

x







.

d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4

dm.

Lời giải

a) Thể tích hình hộp chữ nhật là

2

V

x

h





. Suy ra a) đúng.

b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của hình hộp là:





2

2

4

S

xh

x

dm





. Suy ra

b) đúng.

c) Vì

3

32

32dm

V

l





nên

2

2

32

32

x h

h

x



 

. Do đó:

2

2

2

32

128

4

S

x

x

x

x

x











. Suy ra





2

128

2

S

x

x

x

 





. Do đó c) sai.

d) Ta có:





3

2

2

128

2

128

2

0

0

4

x

S

x

x

x

x

x



 









 



. Ta có bảng biến thiên:

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 7

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy độ dài đáy thùng bằng 4 dm thì chi phí là thấp nhất.

Suy ra d) đúng.

Câu 8. Kính viễn vọng không gian Hubble được đưa vào vũ tru ngày 24/4/1990 bằng tàu

con thoi Discovery.

Vận tốc của tàu con thoi trong sứ mệnh này, từ lúc cất cánh tại thời điểm





0

t

s



cho đến

khi tên lừa đấy được phóng đi tại thời điểm





126 s

t 

, cho bởi hàm số sau:





3

2

0,001302

0, 09029

23, 61

3, 083(

v t

t

t

t

v









được tính bằng feet

/

,1

s

feet

0,3048 m)



.

a) Vận tốc của tàu con thoi luôn tăng trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến khi tên lửa

đấy được phóng đi.

b) Gia tốc lớn nhất mà tàu con thoi có thể đạt được trong lúc thực hiện sứ mệnh trên (làm

tròn đến hàng phần trăm) là

2

62,87feet / s

.

c) Gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến thời điểm





23

t

s



.

d) Gia tốc của tàu con thoi tăng trong khoảng thời gian từ





21, 5

t

s



đến





126

t

s



.

Lời giải

a) Đúng.

Ta có:









3

2

3,906 10

0,18058

23, 61

0,

0;126

v

t

t

t

t















 

.

Suy ra vận tốc của tàu con thoi luôn tăng trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến khi

tên lửa đấy được phóng đi.

b) Đúng.









3

2

3,906 10

0,18058

23, 61

a t

v

t

t

t















Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 8

Ta có:





3

7,812 10

0,18058

0

a

t

t













23,11.

t

 

Bảng biến thiên của





a t

Dựa vào BBT thì gia tốc lớn nhất mà tàu con thoi có thể đạt được trong lúc thực hiện sứ

mệnh trên (làm tròn đến hàng phần trăm) là

2

62,87feet / s

.

c) Sai.

Dựa vào BBT ta thấy gia tốc giảm trong khoảng thời gian từ lúc cất cánh đến thời điểm





23 s

t 

.

d) Sai.

Dựa vào BBT ta thấy gia tốc vừa giảm vừa tăng trong khoảng thời gian từ





21, 5

t

s



đến





126 s

t 

.

Câu 9. (THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc 2025) Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố

ven

biển

A

trong

ngày

thứ

t

của

một

năm

không

nhuận

được

cho

bởi

hàm

số









3sin

70

10

180

d t

t





















với

t 

và

0

365

t

 

. Cánh đồng muối B (thuộc địa phận

của thành phố A ) có thể hoạt động nếu trong ngày nắng nhiều hơn 10 giờ.

a) Ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là 13 giờ.

b) Số giờ có ánh sáng giảm liên tục trong tháng 7 .

c) Cánh đồng muối B có thể hoạt động 213 ngày mỗi năm

d) Ngày thứ 70 trong năm, thành phố có 10 giờ có ánh sáng.

Lời giải

a) Ta có

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 9













1

sin

70

1

3

3sin

70

3

180

180

7

sin

70

10

13

180

t

t

t















 





  

























 



























13 khi sin

70

1

70

2

160

360 .

180

180

2

d t

t

t

k

t

k



























 











Mà

0

365

t

 

nên

0

160

360

360,

0,

160

k

k

k

t









 





.

Giá trị lớn nhất của





d t

là 13 khi

160

t 

. Vậy ngày có nhiều giờ ánh sáng nhất là 13 giờ,

ngày thứ 160 trong năm. Suy ra kết luận a) đúng.

b) Hàm









3sin

70

10

180

d t

t





















nghịch biến trên

3

2 ;

2

2

2

k

k

























, trong một chu

kì, hàm









3sin

70

10

180

d t

t





















nghịch biến trên

3

;

2

2

















nên









3

1

1

3

70

70

90

70

270

160

340.

2

180

2

2

180

2

t

t

t

t













 



















Vậy kể từ này thứ 161 đến ngày thứ 340 , số giờ có ánh sáng của thành phố A bắt đầu giảm.

Tháng 7 năm không nhuận bắt đầu từ ngày thứ 182 trong năm nên kết luận b) đúng.

c) Theo đề bài ta có

















3sin

70

10

10

sin

70

0

0

70

180

180

180

0

70

180

70

250

d t

t

t

t

t

t































 





















 











Số ngày có nắng nhiều hơn 10 giờ là

250

70

180





nên kết luận c) sai.

d) Khi

70

t 

thì





70

3sin0

10

10

d







nên thành phố có 10 giờ có ánh sáng

Do đó kết luận d) đúng.

Câu 10. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc 2025) Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh

khiết, nếu mỗi ngày cơ sở này sản xuất





3

x m

nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản

sau: 3 triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm;

2

0, 0003x

chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là

3

200 m

. Gọi





C x

là chi phí sản xuất





3

x m

sản phẩm mỗi ngày và





c

x

là chi phí trung bình mỗi mét

khối sản phẩm. Khi đó, mệnh đề sau đây đúng hay sai?

a) Chi phí sản xuất

3

100 m

nước tinh khiết là 20 triệu đồng.

b)





3

0, 0003

0,15

c

x

x

x







.

c) Chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 10

ngày là

3

100 m

.

d)





2

0, 0003

0,15

5

C x

x

x







.

Lời giải

Để sản xuất





3

x m

nước tinh khiết thì phải chi phí các khoản sau: 3 triệu đồng chi phí cố

định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm;

2

0, 0003x

chi phí bảo dưỡng máy móc.

Suy ra để sản xuất





3

1 m

. nước tinh khiết thì cần

3

x

triệu đồng chi phí cố định; 0,15 triệu

đồng cho mỗi mét khối sản phẩm;

0, 0003x

chi phí bảo dưỡng máy móc.













2

3

0,15

0, 0003

.

3

0,15

0, 0003

c

x

x

x

C x

c

x

x

x

x



















a) Sai.

Chi phí sản xuất

3

100 m

là





2

100

3

0,15 100

0, 0003 100

21

C













(triệu đồng).

b) Đúng.

Ta tìm được





3

0,15

0, 0003

c

x

x

x







.

c) Đúng.

Hàm chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm là





3

0,15

0, 0003 , 0

200

c

x

x

x

x











.

Đặt









3

0,15

0, 0003 , 0

200

f

x

c

x

x

x

x













.









2

2

3

0,0003

0

3

0, 0003

0

100

f

x

x

f

x

x

x

 





  



 





Bảng biến thiên của hàm





f

x

.

Dựa vào BBT thì chi phí trung bình mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 11

tinh khiết trong ngày là

3

100 m

.

d) Sai.

Ta có:





2

3

0,15

0, 0003

C x

x

x







.

Câu 11. (Sở Ninh Bình 2025) Một hạt chuyển động trên một đường thẳng có gắn một

trục tọa độ với gốc tọa độ là vị trí hạt bắt đầu chuyển động. Tọa độ của hạt trên trục tại

thời điểm

t

(đơn vị: giây) kể từ khi xuất phát được cho bởi công thức









2

3ln

1

x t

t

t







(đơn vị: mét),

0

t 

. Hàm số









v t

x

t





(đơn vị: mét/ giây), biểu thị vận tốc chuyển động

của hạt.

a) Quãng đường mà hạt đi được trong 3 giây đầu tiên là

1,84 m

(làm tròn kết quả đến

hàng phần trăm).

b) Hạt đứng yên tại thời điểm

0,5 s

t 

.

c)





3

2

1

v t

t







d) Vận tốc ban đầu của hạt là





1 m / s

.

Lời giải

a) Sai

Ta có:









3

2

0

0, 5

1

x

t

x

t

t

t











 





.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra quãng đường hạt đi được sau 3 giây đầu tiên là:









0

1

3ln1, 5

6

3ln4

1

3ln1, 5

4

3ln4

6ln1, 5

2,27 m

S 





















b) Đúng

Ta có:









3

2

1

v t

x

t

t











.

Hạt đứng yên





3

0

2

0

0,5 s

1

v t

t

t





 



 



c) Đúng

Ta có:









3

2

1

v t

x

t

t











.

d) Sai

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 12

Vận tốc ban đầu của hạt là:









0

2

3

1 m / s

v





 

.

Câu 11. (THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc 2025) Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng

theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt

của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao

h

của

con

tàu

so

với

bề

mặt

của

Mặt

Trăng

được

tính

(gần

đúng)

bởi

hàm





3

2

0, 01

1,1

30

250

h t

t

t

t

 







trong đó

t

là thời gian tính bằng giây và

h

là độ cao tính

bằng kilomet.

a. Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lừa hãm, độ cao lớn nhất mà con tàu

đạt được là





250 km

.

b) Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao con tàu đạt được khi

vận tốc của con tàu lớn nhất là





139,37 km

.

c. Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, vận tốc lớn nhất của con tàu

là





10,33 km / s

v 

.

d) Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu

đạt được tại thời điểm





25 s

t 

.

Lời giải

a) Đúng

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao lớn nhất mà con tàu đạt

được là





250 km

.

Ta có









3

2

2

0, 01

1,1

30

250

0, 03

2, 2

30

h t

t

t

t

h

t

t

t

 







 









.









1

2

2

110

10

31

3

0

0, 03

2, 2

30

0

.

110

10

31

3

t

l

h

t

t

t

t













 





















Bảng biến thiên:

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao lớn nhất mà con tàu đạt

được là





250 km

.

b) Sai

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 13

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao con tàu đạt được khi

vận tốc của con tàu lớn nhất là





135,93 km

.

Phương trình biểu thị vận tốc của con tàu





2

0, 03

2, 2

30

v t

t

t

 





.

Khi đó





110

0, 06

2, 2

0

3

v

t

t

t



 





 

.

Bảng biến thiên:

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, vận tốc của con tàu lớn nhất

khi

110

3

t 

.

Vậy độ cao con tàu đạt được khi vận tốc lớn nhất là





110

2670

135,93 m

3

27

h

















.

c) Đúng

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, vận tốc lớn nhất của con tàu là





10,33 km / s

v 

.

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, vận tốc lớn nhất của con tàu là





31

10,33 km / s

3

v 



.

d) Sai

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt

được tại thời điểm





18,11 s

t 

.

Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao thấp nhất mà con tàu đạt

được tại thời điểm





2

110

10

31

18,11 s

3

t







.

Câu 11. (THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc 2025) Một nhà sản xuất trung bình bán

được 1500 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 15 triệu đống một chiếc. Một cuộc khảo

sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 600 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng

thêm khoảng 120 ti vi mỗi tuần. Gọi

p

(triệu đồng) là giá của mỗi ti vi,

x

là số ti vi.

a) Nếu hàm chi phí hằng tuần là





7

12000

2

C x

x





(triệu đồng), trong đó

x

là số ti vi bán

ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán 9,5 triệu đồng thì lợi nhuận là lớn nhất.

b) Công ty giảm giá 3,5 triệu đồng cho người mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 14

c) Tổng doanh thu từ tiền bán ti vi là





2

200

450

f

p

p

p

 



(triệu đồng).

d) Hàm cầu là

1

45

200

2

P

x

 



(triệu đồng).

Lời giải

Gọi

(

0)

p p 

(triệu đồng) là giá của mỗi ti vi,





x x  

là số ti vi. Khi đó ta cần xác định

hàm cầu





p

p x



Theo giả thiết tốc độ thay đổi của

x

tỉ lệ với tốc độ thay đổi của p nên hàm số





p

p x



là hàm số bậc nhất. Do đó





,

0

p

p x

ax

b a









.

Theo đề có:

1

1500

x 

thì

1

2

15;

1620

p

x





thì

2

14, 4

p 

.

Khi đó phương trình đường thẳng





,

0

p x

ax

b a







đi qua hai điểm (

1500;15

)và





1620;14, 4

nên ta có hệ phương trình:

1

1500

15

200

1620

14, 4

45

2

a

a

b

a

b

b





 





































Vậy





1

45

200

2

p

p x

x



 



. Chọn d) ĐỨNG

Vi





1

45

200

4500

200

2

p

p x

x

x

p



 



  



.

Khi đó tổng doanh thu mỗi tuần từ tiền bán

x

ti vi là









2

200

4500

200

4500

f

p

xp

p

p

p

p



 



 



.

Chọn c) SAI

Để doanh thu của công ty sẽ lớn nhất, bài toán trở thành tìm

p

đề





f

p

đạt giá trị lớn

nhất.

Ta có:









400

4500

0

11, 25

f

p

p

f

p

p



 



 





Bảng biến thiên:

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 15

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy công ty giảm giá

15

11, 25

3, 75





triệu đồng cho người

mua thì doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.

Chọn b) SAI

Doanh thu từ bán

x

ti vi là









2

1

45

1

45

200

2

200

2

R x

xp x

x

x

x

x













 











.

Khi đó tổng lợi nhuận từ bán

x

ti vi là:













2

2

1

45

7

12000

200

2

2

1

26

12000

200

P x

R x

C x

x

x

x

x

x













 























 





Bài toán trờ thành tìm

x

để





P x

lớn nhất.

Ta có:









1

26;

0

2600

100

P

x

x

P

x

x



 

 







.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy số ti vi bán ra trong 1 tuần là 2600 chiếc thì lợi nhuận đạt

giá trị lớn nhất.

Tức là mỗi tuần bán thêm 1100 chiếc thì số tiền phải giảm giá

1100.600

5500

120



nghìn

đồng.

Vậy phải để giá bán là

15

5, 5

9, 5





triệu đồng. Chọn a) ĐÚNG

Câu 12. (THPT Nguyễn Viết Xuân - Vĩnh Phúc 2025) Nồng độ thuốc





C t

tính theo

3

mg / cm

trong máu bệnh nhân được tính bởi





2

0, 05

1

t

C t

t

t



 

trong đó

t

là thời gian tính

theo giờ kể từ khi tiêm cho bệnh nhân.

a) Có thời điểm nồng độ trong máu của bệnh nhân đạt

3

0, 02mg / cm

.

b) Nồng độ thuốc trong máu lớn nhất ở thời điểm 1 giờ sau khi tiêm.

c) Hàm số





C t

có đạo hàm













2

2

2

1

,

0

20

1

t

C t

t

t

t







 



.

d) Sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân giảm dần theo thời gian.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 16

Lời giải

a) Ta có

















2

2

2

1

1

,

0

1

20

1

t

t

C t

C t

t

t

t



















 



 



ta có bảng biến thiên

Ta có nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất bằng

1

60

khi

1

t 

mà

1

0, 02

60



Chọn SAI.

b) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy nồng độ thuốc trong máu lớn nhất tại thời điểm 1 giờ

sau khi tiêm.

Chọn ĐÚNG.

c) Ta có













2

2

2

1

,

0

20

1

t

C t

t

t

t









 



Chọn ĐÚNG.

d) Dựa vào bảng biên thiên ta có sau khi tiêm nồng độ thuốc trong máu tăng dần trong 1

giờ và sau đó giảm dần

Chọn SAI.

Câu 13. (THPT Lý Thường Kiệt - Hà Nội 2025) Anh

B

chế tạo một bể cá có dạng khối

hộp chữ nhật không nắp có thể tích

3

0,096 m

, chiều cao

0,6 m

h 

, chiều rồng

x

, chiều

dài

y

(với

0

x 

,

0

y 

). Anh

B

dùng loại kính đề làm các mặt bên có giá 70.000 đồng

2

/m

và loại kính đề làm đáy có giá 100.000 đồng

2

/m

. Mọi chi phí khác xem như không

đáng kể. Khi đó

a) Biểu thức tín chi phí làm các mặt xung quanh là

0,16

84000

xq

C

x

x



















.

b) Hàm số biểu thị

y

theo

x

là

0,16

y

x



.

c) Chi phí mua kính đề làm đáy bể là 11200 đồng.

d) Chi phí làm bể cá thấp nhất là 100000 đồng.

Lời giải

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 17

a) Biểu thức tín chi phí làm các mặt xung quanh là

0,16

84000

xq

C

x

x



















. Đúng.

b) Thể tích khối hộp chữ nhật:

0,16

0, 6

0, 096

V

xyh

xy

y

x







 

.

Vậy

0,16

y

x



. Đúng.

c) Diện tích đáy bể là

2

0,16 m

d

S

xy





.

Chi phí mua kính để làm đáy bể là

10000

16000

d

d

C

S







đồng. sai.

Diện tích xung quanh:





0,16

2 0, 6

0, 6

1, 2

xq

S

x

y

x

x























.

Biểu thức tính chi phí làm các mặt xung quanh là

0,16

84000

xq

C

x

x



















.

d) Chi phí làm bể cá:





0,16

84000

16000,

0

xq

d

C x

C

C

x

x

x



























.

Chi phí làm bể cá thấp nhất khi và chỉ khi

0,16

x

x















đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét hàm số





2

0,16

0,16

,

0

x

f

x

x

x

x

x











.





2

2

2

0,16

0,16

1

x

f

x

x

x











.





2

2

0,16

0

0

0, 4

x

f

x

x

x











 

.

Bảng biến thiên

Suy ra









0;

2

4

min

5

5

f

x

f





















.

Vậy chi phí thấp nhất để làm bể cá là:

84000.4

16000

83200

5

C 





đồng. Sai.

Câu 14. Một công ty tiến hành khai thác 17 giếng dầu trong khu vực được chỉ định. Trung

bình mỗi giếng dầu chiết xuất được 245 thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác

nhiều hơn 17 giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết

xuất được hằng ngày giảm 9 thùng. Để giám đốc công ty có thể quyết định số giếng cần

thêm cho phù hợp với tài chính, hãy chỉ ra số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 18

lượng dầu chiết xuất tăng lên. Gọi số lượng giếng dầu mỗi ngày khai thác là

x

và

y

là sản

lượng dầu chiết được. Khi đó

a) Khi đó

2

9

398 ,

17

y

x

x x

 





b) Khi công ty khai thác thêm 6 giếng dầu, thì sản lượng dầu chiết được tăng lên.

c) Công ty có thể khai thác từ 17 đến 22 giếng dầu mỗi ngày để sản lượng dầu chiết tăng.

d) Sản lượng dầu giảm khi công ty khi thác quá 22 giếng dầu mỗi ngày.

Lời giải

a) Sản lượng dầu chiếc được là

2

245

9(

17)

9

398

y

x

x

x

x











 











Vậy a) đúng.

b) Ta có

'

18

398

0

22.

y

x

x

 





 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta thấy khi công ty khai thác từ 17 đến 22 giếng dầu mỗi ngày thì sản

lượng dầu chiết tăng, còn trên 22 giếng dầu thì sản lượng dầu chiết được giảm hay khai

thác thêm từ 1 đến 4 giếng dầu thì sản lượng dầu chiết tăng và khai thác thêm hơn 5

giếng dầu thì sản lượng dầu chiết giảm. Do đó

b) SAI.

c) ĐÚNG

d) Đúng

Câu 15. Quan sát quá trình sinh trưởng và phát triển của một giống cà chua mới trong 18

tuần kể từ khi trồng, các kĩ sư thuộc một trung tâm giống cây trồng nhận thấy: chiều cao

thân cây sau

t

tuần kể từ khi trồng được tính xấp xỉ bởi hàm số









3

40log

2

1

12

h t

t







(đơn vị: centimet,

0

18

t





). Sau 9 tuần kể từ khi trồng, hoa bắt đầu kết trái. Kể từ đó,

đường kính trái cà chua ở tuần thứ

t

xấp xỉ bởi hàm số





2

17

8

3

3

t

t

d t









(đơn vị: centimet,

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 19

9

18

t





).

a) Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thứ 7(làm tròn đến hàng phần

trăm) xấp xỉ bằng 4,85 (cm/tuần).

b) Khi được 4 tuần tuổi, chiều cao của thân cây cà chua là 92 cm .

c) Chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18 tuần.

d) Sau 4 tuần, kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua lớn hơn 12 cm .

Lời giải

a) Đúng. Ta có:





















'

3

(2

1)

80

40log

2

1

12

40

2

1 ln3

2

1 ln3

t

h t

t

h

t

t

t























.

Tốc độ tăng trưởng chiều cao của thân cây cà chua ở tuần thứ 7là









80

7

4,85

2.7

1 ln3

h









(cm/tuần).

b)

Đúng.

Khi

được

4

tuần

tuổi,

chiều

cao

của

thân

cây

cà

chua

là









3

4

40log

2.4

1

12

92 cm

h









.

c) Đúng. Ta có









80

0, 0

18

2

1 ln3

h

t

t

t













.

Chiều cao của thân cây cà chua liên tục tăng trong suốt 18 tuần.

d) Sai. Sau 4tuần, kể từ khi kết trái tức tuần thứ

13

t 

, đường kính trái cà chua là





2.13 17

13 8

13

3

3

4, 22

12 cm

d













.

Vậy sau 4 tuần,kể từ khi kết trái, đường kính trái cà chua lớn hơn 12 cm .

Câu 16. Một cơ sở sản xuất khăn đang bán mỗi chiếc khăn với giá 50000 đồng một chiếc

và mỗi tháng cơ sở bán được trung bình 34000 chiếc khăn. Cơ sở sản xuất đang có kế

hoạch tăng giá bán để có lợi nhuận tốt hơn. Sau khi tham khảo thị trường, người quản lý

thấy rằng nếu từ mức giá 50000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán

ít hơn 500 chiếc. Biết vốn sản xuất một chiếc khăn không thay đổi là 32000 đồng, gọi số

tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là

x

(nghìn đồng). Khi đó:

a) Tổng doanh thu trung bình mỗi tháng cơ sở sản xuất thu được khi chưa tăng giá là

1700000000 nghìn đồng.

b) Số khăn bán ra được mỗi tháng sau khi tăng giá là

34000

5x



chiếc.

c) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi 41 nghìn đồng.

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm 12500 chiếc.

Lời giải

a. Đúng.

Tổng doanh thu trung bình mỗi tháng cơ sở sản xuất thu được khi chưa tăng giá là:

34000.50000

1700000000



đồng.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 20

b. Sai

Khi tăng giá thêm 1000 đồng thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 500 chiếc.

Vậy khi tăng giá mỗi chiếc khăn là

x

nghìn đồng thì số khăn bán ra được mỗi tháng là:

34000

500x



chiếc..

c. Sai

Giá bán mới là:

50

x



(nghìn đồng).

Doanh thu thu được sau khi tăng giá là:



 



34000

500

50

x

x





(nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được:







 







34000

500

50

32 34000

500

T x

x

x

x











(nghìn đồng).

2

500

25000

612000

T

x

x

 





(nghìn đồng).

Ta có:





1000

25000

T

x

x

 





.





0

25

T

x

x



 



.

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có, lợi nhuận lớn nhất khi

25

x 

nghìn đồng.

Như vậy, để đạt lợi nhuận lớn nhất thì sau khi tăng giá mỗi chiếc khăn lãi

50

25

32

43







nghìn đồng.

d. Chọn ĐÚNG.

Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số khăn bán ra giảm

500.25

12500



chiếc.

Câu 17. (Sở Thừa Thiên Huế 2025) Ông An có một

mảnh đất hình vuông

ABCD

có cạnh

12 m

AB 

. Ông

làm một hồ bơi dạng hình thang cong (phần tô đậm)

và một lối đi là đoạn thẳng

HB

. Nếu đặt hệ trục toạ

độ có gốc tại

A

như hình vẽ, độ dài đơn vị là

1m

, thì

đường cong

EFIG

là một phần đồ thị của một hàm số

bậc ba





y

f

x



có

F

là điểm cực tiểu và

I

là điểm

cực đại. Biết

3

CH

DE

GB

m







và các điểm

,

F I

cách cạnh

AD

lần lượt là

2m

và

6m

.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 21

a) Phương trình của đường thẳng

HB

là

4

48

y

x

 



.

b) Tồn tại



a 

sao cho







 



2

6

f

x

a x

x









c) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y

f

x



tại điểm có hoành độ bằng 7 song song với đường

thẳng

HB

.

d) Ông An cần đặt một cái thang lên xuống hồ bơi tại một điểm trên đường cong

EFIG

sao

cho khoảng cách từ điểm đặt thang đến lối đi là ngắn nhất, khoảng cách đó bằng

2,56 m

(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Đúng.

a) Đúng

Gọi phương trình đường thẳng

HB

là





0

y

ax

b a







Đường thẳng

HB

đi qua hai điểm





12; 0

B

và





9;12

H

nên ta có hệ phương trình

0

12

4

12

9

48

a

b

a

a

b

b







 



















.

Vậy phương trình đường thẳng

HB

là

4

48

y

x

 



.

b) Sai

Các điểm

,

F I

cách cạnh

AD

lần lượt là

2m

và

6m

nên

2,

6

F

I

x

x





.

Mặt khác

F

là điểm cực tiểu và

I

là điểm cực đại của đồ thị hàm số





y

f

x



nên tồn tại



a 

sao cho







 



2

6

f

x

a x

x









.

c) Sai

Ta có:







 











3

2

2

2

6

8

12

4

12

3

x

f

x

a x

x

a x

x

f

x

a

x

x

C





































.

Mặt khác:









3

2

3

2

0

4.0

12.0

9

1

3

0

9

3

9

0

9

9

4.9

12.9

0

3

a

C

f

a

f

C

a

C





























 





























































.

Suy ra





3

2

1

4

4

9

9

3

f

x

x

x

x

 











2

1

8

4

3

3

f

x

x

x

 







Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 22

Do





5

7

4

3

k

f









 

nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số





y

f

x



tại điểm có hoành độ

bằng 7 không song song với đường thẳng

HB

.

d) Đúng

Gọi

Δ

là tiếp tuyến của hàm số





y

f

x



tại điểm





0

0

;

M x

y

.

Để





,

d

M HB

ngắn nhất thì

Δ

song song

H

.

Suy ra









2

2

0

Δ

0

0

0

0

0

0

0

1

8

1

8

4

4

4

0

3

3

3

3

8

x

L

k

f

x

x

x

x

x

x







 

 





 

 















Khi đó

49

8;

,

: 4

48

0

9

M

HB

x

y



















Vậy





2

2

49

4.8

48

9

,

2, 56

4

(

1)

d M HB









 

.

Câu 18. Vận tốc





1

cm / s

v

của con lắc thứ nhất và vận tốc





2

cm / s

v

của con lắc thứ hai

theo thời gian

t

(giây) được cho bởi công thức





1

2cos

3

v

t

t



















;





2

4cos

3

6

t

v

t



















a) Tại thời điểm ban đầu vận tốc con lắc thứ nhất bằng 1 .

b) Vận tốc lớn nhất của con lắc thứ hai bằng 4

c) Tại thời điểm

4

t





, vận tốc của con lắc thứ hai gấp hai lần vận tốc của con lắc thứ nhât.

d) Trong thời gian 10 giây đầu tiên, con lắc thứ nhất đạt vận tốc lớn nhất hai lần

Lời giải

a) Tại thời điểm ban đầu, với

0

t 

thì





1

0

2cos

1

3

v





















. Nên mệnh đề a) đúng.

b) Vì

1

cos

1

3

6

t





















, nên khi

cos

1

3

6

t



















, thì vận tốc của con lắc thứ hai đạt giá trị

lớn nhất bằng





2

4

v

t



. Nên mệnh đề b) đúng.

c) Với

4

t





thì





1

1

3

2

2cos

4

4

3

2

v









































và

2

4cos

2

2

4

12

6

v





































Vì









1

3

2

2

1

3

2

2

2

2















, nên

1

2

2

4

4

v

v

































. Nên mệnh đề c) sai.

d) Ta có













'

'

1

1

2sin

,

0

sin

0

,

3

3

3



v

t

t

v

t

t

t

k

k

















 











 





















Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 23

Vì

1

1

10

0

10

0

10

3

3

3

t

k

k











 





 



 



. Vì



k 

, nên





0,1, 2

k 

Với





1

0

2 cm / s

3

3

k

t

v











 













Với





1

4

4

1

2 cm / s

3

3

k

t

v











 



 









Với





1

7

7

2

2 cm / s

3

3

k

t

v











 













. Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy trong thời gian 10 giây đầu tiên, con lắc thứ nhất đạt vận tốc lớn nhất hai lần bằng 2

(cm/s) tại thời điểm 3

3

t





(s) và

7

.

3

t





(s). Nên mênh đề d) đúng.

Câu 19.(Sở Ninh Bình 2025) Một chiếc đèn được đặt

trên đỉnh của một cột đèn cao





m

h

để chiếu sáng một

vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính 12 m .

Cường độ ánh sáng

I

tại một điểm

P

trên vòng xuyến

tỉ lệ thuận với cosin của góc



và tỉ lệ nghịch với bình

phương khoảng cách





m

d

từ nguồn sáng đến điểm

P

(xem hình dưới đây).

a) Nếu





I

f

h



thì













2

2

3

2

2

2

144

144

144

h

f

h

k

h

h













.

b) Để cường độ ánh sáng

I

lớn nhất thì cột đèn phải

cao

6

2 m

.

c)

2

12

cos

144

h







.

d)

2

cos

I

k

d





(với

k

là hằng số dương).

Lời giải

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 24

a) SAI

b) ĐÚNG

c) SAI

d) ĐÚNG

+) Vì cường độ ánh sáng

I

tại một điểm

P

trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc



và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách





m

d

từ nguồn sáng đến điểm

P

nên

2

cos

I

k

d





(với

k

là hằng số dương). Vậy

d

đúng.

+)

2

cos

144

h

h

d

h









. Vậy c sai.

+)













3

2

2

2

2

2

cos

1

144

144

144

h

h

I

k

k

k

f

h

d

h

h

h



















































3

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

2

2

3

144

144

2

144

144

3

2

144

144

h

h

h

h

h

h

f

h

k

k

h

h











































1

2

2

2

2

3

5

2

2

2

144

144

2

144

2

144

144

h

h

h

k

k

h

h



















. Vậy a Sai.

+)









2

2

5

2

2

144

2

0

144

2

0

72

6

2

144

h

f

h

k

h

h

h

















 





.

Ta có bảng biến thiên:

Để cường độ ánh sáng

I

lớn nhất thì cột đèn phải cao 6, 2 m. Vậy b đúng

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 25

Phần II. Một số bài toán tự luận (trả lời ngắn) thực tế max, min hàm số

I. Các bài toán về kinh tế (Doanh thu, Chi phí, Lợi nhuận)

Phương pháp:

 Nếu

( )

C x

là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất

x

đơn vị một sản phẩm nào đó thì

chi phí biên là tốc độ thay đổi của

C

đối với

x

, tức là đạo hàm

'( ).

C x

 Chi phí bình quân:

( )

( )

.

C x

C x

x



Chi phí bình quân cho biết chi phí trung bình để

sản xuất 1 sản phẩm là bao nhiêu hay còn được gọi là giá thành của sản phẩm.

 Hàm doanh thu: Nếu

x

đơn vị hàng hóa bán ra với giá mỗi đơn vị là

( )

p x

thì hàm

doanh thu, kí hiệu

( )

R x

, khi đó

( )

.

( )

R x

x p x



(số sản phẩm nhân với giá tiền mỗi

sản phẩm).

 Hàm cầu (hàm giá)

(

)

p x

là giá bán của một đơn vị sản phẩm khi công ty bán ra

x

sản phẩm.

 Hàm lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí –Thuế (nếu có)

 Khảo sát hàm số lập BBT tìm GTLN, GTNN hàm số.

Câu 1. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp

sản xuất

x

sản phẩm





1

500

x





thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm

đó là

3

2

( )

1999

1001000

250000

F x

x

x

x









(đồng), trong khi chi phí sản xuất

bình quân cho một sản phẩm là

250000

( )

1000

G x

x

x







(đồng). Doanh nghiệp cần

sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Lời giải

Lợi nhuận của doanh nghiệp khi sản xuất

x

sản phẩm là

3

2

3

2

250000

( )

(

)

( )

1999

1001000

250000

1000

2000

1000000 .

L x

F x

xG x

x

x

x

x x

x

x

x

x

















































Bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số

( )

L x

trên đoạn

[1; 500]

.

Ta có

2

'( )

3

4000

1000000

L x

x

x







;

1000

'( )

0

.

3

L x

x



 

Khi đó,

1000

(1)

998001,

148148148,

(500)

125000000

3

L

L

L































Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 26

Vậy

[1;500]

1000

max

( )

3

L x

L



























.

Do số sản phẩm là số nguyên, nên ta xét giá trị của hàm số tại hai điểm nguyên trước và

sau giá trị

1000

3

là 333 và 334. Ta có

(333)

148148037;

(334)

148147704

(333)

(334)

f

f

f

f









Do đó, doanh nghiệp nên sản xuất 333 sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Câu 3. Trong một ngày, tổng chi phí để một xưởng sản xuất

x

(kg) thành phẩm được cho

bởi hàm số

3

2

( )

2

30

177

2592

C x

x

x

x









(nghìn đồng). Biết giá bán mỗi kilôgam

thành phẩm là 513 nghìn đồng và công suất tối đa của xưởng 20 kg trong một ngày. Khối

lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là bao nhiêu để lợi nhuận thu

được của xưởng trong một ngày là cao nhất?

Lời giải

Gọi

( )

P x

là lợi nhuận

xưởng thu được trong một ngày khi sản xuất x (kg) thành phẩm.

Gọi

( )

R x

là doanh thu xưởng thu được khi bán

x

sản phẩm. Khi đó

( )

513 .

R x

x



Ta có





3

2

3

2

( )

( )

(

)

513

2

30

177

2592

2

30

336

2592, 0

20.

P x

R x

C x

x

x

x

x

x

x

x

x















 











Suy ra

2

'( )

6

60

336;

'( )

0

14

P x

x

x

P x

x

 







 

.

Ta có

(0)

2592;

(14)

2504;

(20)

128.

P

P

P

 





Suy ra

[ 0;20]

max

( )

(14)

2504.

P x

P





Vậy, khối lượng thành phẩm xưởng nên sản xuất trong trong một ngày là 14 kg thì lợi

nhuận thu được của xưởng trong một ngày là cao nhất.

Câu 4.

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay

doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe hon đa Future Fi với chi phí

mua vào một chiếc là 27 (triệu đồng) và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này

thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy

mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá

bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một

năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc. Vậy doanh nghiệp phải định giá bán mới là bao nhiêu để

sau khi đã thực hiện giảm giá, lợi nhuận thu được sẽ là cao nhất.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 27

Lời giải

Gọi

x

(triệu đồng) là số tiền giảm cho mỗi chiếc xe,

0

4.

x





.

Khi đó, số tiền thu được khi bán một chiếc xe máy là 31 – x – 27 = 4 – x (triệu đồng).

Số lượng chiếc xe bán được là: 600 + 200x (chiếc).

Hàm chi phí cho 600 + 200x chiếc xe là:





600

200

.27

x



(triệu đồng).

Hàm doanh thu cho 600 + 200x chiếc xe là: (600 + 200x).(31 – x) (triệu đồng).

Khi đó, lợi nhuận thu được là:

2

( )

(600

200 )(31

)

(600

200 ).27

200

200

2400.

P x

x

x

x

x

x











 





Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm P(x) với 0 ≤ x ≤ 4.

Ta có P’(x) = -400x+200 = 0 khi x = 0,5.

Khi đó: P(0)=2 400; P(0,5) = 2 450; P(4)=0

Suy ra 2 450 là giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận, đạt được khi x = 0,5. Tức là mỗi chiếc

xe nên giảm giá 0,5 triệu đồng.

Vậy doanh nghiệp nên định giá bán mới là 30,5 triệu đồng để thu được lợi nhuận cao nhất.

Câu 5. Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A. Với mỗi

sản phẩm A bán được, cửa hàng thu được 20 nghìn đồng lợi nhuận. Qua khảo sát, người ta

thấy rằng với mỗi nghìn đồng giảm giá, cửa hàng bán thêm được 10 sản phẩm A. Cửa hàng

nên giảm giá bao nhiêu cho mỗi sản phẩm A để thu được lợi nhuận lớn nhất từ việc bán

sản phẩm này? Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Lời giải

Gọi

,(

0)

x

x 

(nghìn đồng) giá của hàng cần giảm cho mỗi sản phẩm A.

Mỗi tháng cửa hàng bán được số sản phẩm là

100

10 .

x



Với mỗi sản phẩm bán được, cửa hàng thu được lợi nhuận là

20

x



(nghìn đồng).

Lợi

nhuận

cửa

hàng

thu

được

từ

bán

sản

phẩm

A

là:

2

( )

(100

10 )(20

)

10

100

2000

P x

x

x

x

x







 





(nghìn đồng).

Bài toán trở thành, tìm giá trị lớn nhất của hàm số P(x) trên

(0;

).



Ta có

'( )

20

100

0

5.

P x

x

x

 





 

Ta có bảng biên thiên:

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 28

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

(0;

)

max

( )

2250

L x





tại x=5.

Vậy cửa hàng giảm giá 5000 đồng cho mỗi sản phẩm A thì lợi nhuận thu được cao nhất.

Câu 6. Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất

x

sản phẩm mỗi tháng là

2

( )

5000

50

0, 005

C x

x

x







(nghìn đồng)

a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.

b) Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một

sản phẩm thấp nhất?

Lời giải

a) Chi phí trung bình sản xuất một sản phẩm là

2

(

)

5000

50

0, 005

5000

(

)

50

0, 005

C x

x

x

C x

x

x

x

x















với

0.

x 

b) Ta có

2

2

5000

'(

)

0, 005

0

1000000

1000.

C x

x

x

x

 









 

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy

(0;

)

min

( )

60

C x





tại x=1000.

Vậy mỗi tháng xưởng sản xuất 1000 sản phẩm thì chi phí trung bình là thấp nhất.

Câu 7. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất 2025

quả bóng tennis. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất 50 quả

bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 100 nghìn đồng cho mỗi máy. Khi

được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền

phải trả cho người giám sát là 200 nghìn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng

là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 29

Lời giải

Gọi số máy móc công ty sử dụng để sản xuất là

(

,

0)

x x

x







.

Thời gian cần để sản xuất hết 8000 quả bóng là:

8000

30x

(giờ).

Tổng chi phí để sản xuất là:

8000

51200

( )

.192

200

200

.

30

P x

x

x

x

x









Ta có

2

2

51200

'(

)

200

0

256

0

16.

P x

x

x

x













 

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào BBT ta thấy

(0;

)

min

( )

6400

P x





tại x=16.

Vậy công ty nên sử dụng 16 máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Câu 8. Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm

T

được sản xuất trong nước. Qua

nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm

T

là





$

x

thì số sản phẩm

T

các

nhà máy sản xuất sẽ là





200

R x

x





và số sản phẩm

T

mà doanh nghiệp bán được trên

thị trường trong nước sẽ là





4200

Q x

x





. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu

ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là

0

3200$

x



. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là





$

a

và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi

xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là

4 :1

. Hãy xác

định giá trị của

a

biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Lời giải.

- Gọi giá (chi phí) một sản phẩm là

x

. Điều kiện:

200

4200

x





- Số sản phẩm sản xuất là:

(

)

200

R x

x





- Số sản phẩm bán được trong nước là

(

)

4200

Q x

x





- Số sản phẩm còn dư là:

(

)

(

)

2

4400

R x

Q x

x







Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 30

- Doanh thu trên thị trường quốc tế là:

(

)

3200(

440

2

0)

P x

x





- Thuế cho nhà nước là:

2

(

)

(

4400)

T x

a

x





- Lãi xuất khẩu là:

(

)

3200(

4400)

(2

4400)

(2

4400)

(2

4400)(3200

)

(1)

2

L x

x

x

x

a

x

x

x

a





















Theo bài

ra: Lãi chia cho thuế = 4:1

(2

4400)(3200

)

4

5

3200

3200

5

(2

4400)

1

x

x

a

a

x

x

a

a

x















 





thay vào (1) ta có:





(

)

2(3200

5 )

4400 (3200

3200

5

)

40 (

200)

L a

a

a

a

a

a















 

(trên [0;200])

Lập bảng biến thiên của hàm số

(

)

L a

(trên [0;200]) ta được

(

)

(100)

400000

MaxL a

L





Vậy

100

a 

.

Bài toán 2: Max, min liên quan đến bài toán chuyển động

Phương pháp:

 Xét mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc, quãng đường và thời gian ta có: Nếu

hàm số

( )

s t

biểu thị quãng đường di chuyển của xe trong thời gian

t

giây thì

( )

'( )

v t

s

t



biểu thị vận tốc vật trong thời gian

t

giây .

 Xét mối liên hệ giữa gia tốc, vận tốc tại thời điểm

t

là:

Đạo hàm của vận tốc chính là gia tốc, tức là

( )

'( )

''( ).

a t

v

t

s

t





Ví

dụ

1. Trong

5 giây

đầu

tiên, một

chất

điểm

chuyển động

theo

phương trình

3

2

( )

6

5

s t

t

t

t

  

 

trong đó

t

tính bằng giây và

s

tính bằng mét. Chất điểm có

vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Lời giải

Ta có

2

( )

'( )

3

12

1

v t

s

t

t

t



 





với

0; 5 .

t















Suy ra

'( )

6

12;

'( )

0

2.

v

t

t

v

t

t

 





 

Xét

(0)

1;

(2)

13,

(5)

14

v

v

v





 

. Vậy

[0;5]

max ( )

13

v t



tại

2.

t 

Vậy chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng 13 m/s tại thời điểm t = 2 giây trong 5

giây đầu tiên

.

Ví dụ 2. Anh Tí muốn chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí B về phía hạ lưu bờ đối diện, càng

nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng 3km (như hình vẽ). Tí có thể chèo thuyền của

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 31

mình trực tiếp qua sông để đến vị trí C và sau đó chạy đến vị trí B, hay có thể chèo trực

tiếp từ vị trí A đến vị trí B, hoặc anh ta có thể chèo đến một vị trí D ở giữa C và B và sau

đó chạy đến B. Biết anh ấy có thể chèo thuyền với tốc độ

6

/

km h

, chạy với tốc độ

8

/

km h

và quãng đường

8

BC

km



. Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể có với tốc độ chèo

thuyền của anh Tí. Khoảng thời gian để anh Tí đến B là bao nhiêu phút? (Kết quả làm tròn

đến hàng đơn vị)

Lời giải

Đáp án:

80

Gọi

x

CD



, khi đó

2

2

2

9

AD

AC

CD

x









và

8

BD

x





với

0

8

x





Thời gian anh Tí đi từ

A

đến

B

là:





2

9

8

6

8

x

x

t

x









.

Ta có:





2

1

1

.

6

8

9

x

t

x

x









,





2

2

2

1

9

0

0

3

9

4

7

81

8

7

6

9

x

t

x

x

x

x

x

x





















  



.

Vì





0;8

x 

nên

9

7

x 

.

Ta có:





3

0

2

t



;





73

8

6

t



,

9

8

7

8

7

t

















Vậy thời gian ngắn nhất khi

9

7

x 

và

9

1, 33

80

7

t

h

p

















.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 32

Ví dụ 3. Hai thành phố ở hai vị trí

A

và

B

cách nhau một con sông. Người ta xây dựng một

cây cầu bắc qua sông biết rằng vị trí

A

cách con sông một khoảng là

4km

, vị trí

B

cách

con sông một khoảng là

6km

(được mô hình hóa như hình vẽ bên dưới),

20

HE

KF

km





và độ dài

EF

không đổi. Hỏi độ dài

EH

là bao nhiêu

km

để đường đi từ thành phố

A

đến

thành phố

B

là ngắn nhất (đi theo đường

AEFB

) ?

Lời giải:

Đặt





0

20

HE

x

x









20

KF

x







2

16

AE

x





,





2

36

20

KB

x







Đường đi từ thành phố

A

đến thành phố

B

(đi theo đường

AEFB

) là

AE

EF

KB





.

Để đường đi từ thành phố

A

đến thành phố

B

là ngắn nhất thì

AE

KB



đạt giá trị nhỏ nhất

(vì

EF

không đổi).

Đặt









2

2

16

36

20

f

x

AE

KB

x

x















.









2

2

20

'

16

36

20

x

x

f

x

x

x





















2

2

20

'

0

0

16

36

20

x

x

f

x

x

x





















2

2

20

16

36

20

x

x

x

x





















8

40

x

N

x

L









 





.

Bảng biến thiên

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 33

Vậy độ dài

8

EH 

km

thì đường đi từ thành phố

A

đến thành phố

B

là ngắn nhất.

Bài toán 3: Max, min liên quan đến tốc độ thay đổi.

Phương pháp: Cho hàm số

( )

y

f

x



, khi đó tốc độ thay đổi của hàm số

( )

y

f

x



là đạo

hàm

'( )

f

x

.

Ví dụ: Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ

tuân theo đường cong logistic

5000

(

)

,

0

1

5

x

R

R x

x

e











trong đó thời gian

x

được

tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

Lời giải

Tốc độ bán hàng là

2

25000

'( )

,

0.

(1

5

)

x

x

e

R x

x

e











Tốc độ bán hàng tối đa khi

'( )

R x

đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của

'( )

R x

trên



0;









.

Ta có

2

4

3

(1

5

)

.2.(1

5

).5

25000(5

1)

''( )

25000

(1

5

)

(1

5

)

x

x

x

x

x

x

x

x

e

e

e

e

e

e

R x

e

e



































''( )

0

5

1

0

ln 5.

x

R x

e

x







 

 

Ta có BBT

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 34

Từ BBT suy ra

'

R

đạt giá trị lớn nhất khi

ln 5

1, 61.

x 



Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ hai.

Bài toán 4: Max min liên quan đến hình học

Phương pháp:

Từ dữ bài toán, ta sẽ xây dựng được một hàm số, tiếp theo ta cần xét hàm số đó (tìm max,

min) theo yêu cầu của đề bài.

Lưu ý các công thức liên quan đến thể tích, diện tích các hình.

 Diện tích hình chữ nhật có hai kích thước

,

a b

là

.

S

ab



 Diện tích hình vuông cạnh

2

:

.

a

S

a



 Diện tích hình thang, đáy nhỏ

,

a

đáy lớn

,

b

chiều cao

h

là

(

).

.

2

a

b

h

S





 Diện tích tam giác đều cạnh

2

3

:

.

4

a

S

a



 Diện tích tam giác vuông là

1

.

2

S

ab



Một số công thức hình học không gian:

*Hình hộp chữ nhật:

Diện tích xung quanh:

2(

).

xq

S

a

b c





Diện tích toàn phần

tp

xq

dáy

S

S

S





Thể tích hình hộp:

.

V

abc



*Hình lập phương

Diện tích xung quanh:

2

4

.

xq

S

a



Thể tích hình hộp:

3

.

V

a



Diện tích toàn phần

tp

xq

dáy

S

S

S





Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 35

Hình nón:

Diện tích xung quanh:

.

xq

S

rl





Diện tích toàn phần

2

tp

S

rl

r









Thể tích

2

1

.

3

V

r h





Hình trụ:

Diện tích xung quanh:

2

.

xq

S

rh





Diện tích toàn phần

2

2

2

.

tp

S

rh

r









Thể tích

2

.

V

r h





Ví dụ 1. Từ một miếng bìa hình vuông có cạnh bằng 12 cm, người ta cắt bỏ đi bốn hình

vuông nhỏ có cạnh bằng

x

(cm) ở bốn góc (Hình a) và gấp lại thành một hình hộp không

nắp (Hình b). Tìm

x

để thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Giải

Theo đề bài, ta có: cạnh của hộp là

12

2x



(cm).

Chiều cao của hộp là

x

(cm).

Thể tích của hộp là

2

3

2

(12

2 ) .

4

48

144 ,

V

x

x

x

x

x











với

0

6.

x





.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 36

Ta có

2

'( )

12

96

144

0

6,

2.

V x

x

x

x

x









 



Ta có

(0)

0;

(2)

128,

(6)

0.

V

V

V







Vậy

[0;6 ]

max

( )

(2)

128.

V x

V





Vậy với

2

x 

thì thể tích của hình hộp là lớn nhất.

Ví dụ 2. Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có

dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và

diện tích bề mặt bằng 108

2

cm

như hình bên. Tìm các kích

thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Giải

Diện tích các bề mặt của hộp là diện tích toàn phần của hộp,ta có

2

2

2

108

2(

).

4

108

(

)

4

tp

x

S

x

x

x

h

x

xh

h

cm

x















 

Thể tích của hình hộp là

2

3

2

2

3

108

108

.

.

(

),

0.

4

4

x

x

x

V

x

h

x

cm

x

x













Ta có

2

3

108

'(

)

0

6.

4

x

V x

x









 

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy thể tích lớn nhất của hình hộp khi độ dài cạnh đáy

6

.

x

cm



Khi

đó, chiều cao của hình hộp là

2

108

6

3(

).

4.6

cm





Ví dụ 3. Cho hình thang có đáy nhỏ và cạnh bên bằng nhau và bằng 5. Tìm diện tích lớn

nhất của hình thang cân đó.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 37

Xét hình thang cân

ABCD

có đáy nhỏ AB, gọi H, K lần lượt là chân đường cao kẻ từ A

và B xuống CD.

Đặt

, 0

5

CK

DH

x

x









Ta có

2

2

2

5

2 ,

25

.

CD

x AH

AD

DH

x

 









Diện tích hình thang

ABCD

là

2

2

(

).

(5

5

2 )

25

(5

)

25

2

2

AB

CD AH

x

x

S

x

x



 













Xét hàm số

2

( )

(5

)

25

S x

x

x







trên [0;5).

Ta có

2

2

2

2

5

25

5

'( )

0

2

5

25

0

.

2

25

x

x

S

x

x

x

x

x











 







 



Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy

[0;5)

5

75

3

max

( )

.

2

4

S x

S





























Vậy hình thang có diện tích lớn nhất bằng

75

3

4

.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 38

Ví dụ 4. Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000

3

cm

. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/

2

cm

,

trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/

2

cm

. Tính các

kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Giải

Gọi bán kính đáy của bình là

(

),

0

x cm x 

và

(

),

0

h cm h 

là chiều cao của thùng.

Ta có

3

2

2

1000

1000

V

cm

x h

h

x









 

.

Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là

2

2

.

x



.

Chi phí sản xuất mặt trên và mặt dưới của bình là

2

2

1, 2.2

2, 4

.

x

x







Diện tích mặt bên của bình là

2

1000

2000

2

2

xh

x

x

x











Chi phí sản xuất mặt bên là

2000

1500

0, 75.

.

x

x



Tổng chi phí là

2

1500

( )

2, 4

T x

x

r







.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của

( )

T x

trên

(0;

)



.

Ta có

3

2

1500

625

'( )

4, 8

0

2

T x

x

x

x











 

Bảng biến thiên

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 39

Để chi phí sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất thì bán kính đáy của bình là

3

625

2

và chiều

cao của bình là

2

3

1000

.

625

2

































Ví dụ 5: Nhóm bạn Đức dựng trên một

khu đất bằng phẳng một chiếc lều từ một

tấm bạt hình vuông có độ dài cạnh 4 m

như hình bên với hai mép tấm bạt sát mặt

đất. Tính khoảng cách

AB

để khoảng

không gian trong lều là lớn nhất.

Lời giải

Giả

sử

lều

dựng

lên

được

hình

lăng

trụ

đứng

.

'

'

'

ABC A B C

với

2,

'

4,

(0

4).

AC

BC

BB

AB

x

x













Khi đó

2

2

2

,

4

.

2

4

x

x

AH

CH

AC

AH











2

.

4

.

4

ABC

x

S

ABCH

x









Thể tích khối lăng trụ là

2

2

.

'

'

'

.

'

4

.4

2

16

.

4

ABC A B C

ABC

x

V

S

BB

x

x

x













Xét hàm số

2

( )

2

16

V x

x

x





trên

(0; 4)

.

Ta có

2

2

2(8

)

'( )

0

2 2.

16

x

V x

x

x







 



Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 40

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

(0;4)

max

( )

16

V x



tại

2 2.

x 

Vậy

2 2

AB 

thì khoảng không gian trong lều là lớn nhất.

Ví dụ 6: Từ một khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính bằng 40 cm, cần

xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và bốn miếng phụ

tô màu xám như hình vẽ. Tìm chiều rộng

x

của miếng phụ để diện tích

sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

Giải

Gọi

,

x y

lần lượt là chiều rộng và chiều dài của miếng phụ.

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là

4

.

MNPQ

S

S

xy





Cạnh hình vuông

40

20

2(

).

2

2

MP

MN

cm







Do đó





2

20 2

4

800

4

S

xy

xy









(1).

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 41

Lại

có





2

2

2

2

2

2

2

2

40

2

20

2

1600

800

80

2

4

AB

AD

BD

x

y

y

x

x























2

800

80

2

4

y

x

x

 





Thay

vào

(1)

ta

được

2

2

3

4

800

4

800

80

2

4

800

4

800

80

2

4

.

S

x

x

x

x

x

x

















Ta có

2

20 2

20 2

40

20 2

x

AB

MN

AB

BD

















Vậy

0

40

20 2

x







Xét hàm số

( )

S x

trên khoảng

(0; 40

20 2)



Ta

có





2

3

2

5

34

15 2

'( )

1600

240

2

16

16

100

15 2

2

S

x

x

x

x

x

x















 

Lập BBT ta có

5

34

15 2

2

x





là giá trị cần tìm.

Ví dụ 7. Từ một tấm tôn hình vuông có cạnh

2m

, người ta cắt bỏ đi bốn tam giác cân bằng

nhau có cạnh đáy là cạnh của hình vuông rồi ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều

(tham khảo hình vê). Giả sử các mối hàn ghép là không đáng kể thì khối chóp được tạo

thành có thể tích lớn nhất là bao nhiêu

3

m

.

(Kết quà làm tròn đến đến hàng phần trăm)

Lời giải

Gọi độ dài cạnh đáy của hình chóp là

(

)

x m

.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 42

Do

2

(0;

2 )

MN

IJ

x





 

.

Ta có:

;

2

2

2

2

2

x

AC

x

OK

OA

SK

AK















.

Do vậy:

2

2

2

2

2

2

2

2

4

x

x

SO

SK

OK

x



























.

Khi đó thể tích khối chóp là:

2

1

2

2

3

V

x

x





.

Xét

2

1

(

)

2

2

3

f

x

x

x





, ta có

2

2

2

2

1

2

1

4 (2

2 )

2

8

5

2

(

)

2

2

2

3

3

2

2

2

2

2

2

3(2

2

2 )

0

(

)

0

8

5

2

0

4

2

5

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x



















































































Ta có bảng biến thiên:

Ta thấy thể tích của mô hình lớn nhất khi cạnh đáy của mô hình là

4

2

.

5

x 

Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp là

max

4

2

32 10

0, 27.

5

375

V

f























Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 43

Phần III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Phần A. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Cho hàm số









92

20ln

1

f

x

x







.

a) Tập xác định của hàm số





y

f

x



là





1;

D



 



.

b) Hàm số





y

f

x



nghịch biến trên khoảng





1;







.

c) Bất phương trình





72

f

x



có đúng 3 nghiệm nguyên.

d) Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau khi tham gia một khóa học, phần trăm kiến thức sinh

viên còn nhớ sau

t

tháng kết thúc khóa học được xác định bởi hàm số





y

f

t



, trong đó





f

t

được tính bằng

%

và

0

24

t

 

. Phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ

50%

khi

7

t 

(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Câu 2. Trong một trò chơi thử thách, bạn Giáp đang ở trên thuyền (vị trí

A

) cách bờ

hồ (vị trí C ) 300 m và cần đi đến vị trí

B

trên bờ hồ như hình vẽ,

khoảng cách từ

C

đến

B

là 400 m , lưu ý là Giáp có thể chèo thuyển thẳng từ

A

đến

B

hoặc chèo thuyền từ

A

đến một điểm nằm giữa

C

và

B

rồi chạy bộ đến

B

.

Biết rằng Giáp chèo thuyền với tốc độ

50 m / phút

và chạy bộ với tốc độ

100 m / phút

.

a) Thời gian Giáp chèo thuyền thẳng từ

A

đến

B

là là 10 phút.

b) Thời gian Giáp chèo thuyền từ

A

đến

C

rồi chạy bộ từ

C

đến

B

là là 10 phút.

c) Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm

D

nằm giữa

B

và

C

và cách

C

một đoạn





m

x

như hình vẽ dưới đây, rồi chạy bộ đến

B

thì thời gian Giáp đi từ

A

đến

B

được

tính bằng công thức









2

1

90000

400

(phút).

100

f

x

x

x









d) Thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ

A

đến

B

xấp xi 9,2 phút (kết quả làm tròn đến hàng

phần chục).

Câu 3. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất

8000 quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất

30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy.

Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 44

giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng

một giờ.

a) Trong 1 giờ, cần 266 máy để sản xuất được 8000 quả bóng pickleball.

b) Trong

8

3

giờ, cần 100 máy để sản xuất được 8000 quả bóng pickleball.

c) Chi phí hoạt động thấp nhất là 6,5 triệu đồng.

d) Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng 16 máy.

Câu 4. Chi phí nguyên liệu của một con tàu chạy trên sông được chia làm hai phần.

Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghin đồng trên 1 giờ. Phần thứ

hai ti lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi

10 km / h

v 

thì chi phí nguyển liệu phần

thứ hai bằng 30 nghìn đồng /giờ. Gọi





km / h

x

là vận tốc của tàu.

a) Chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trong thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là

480

x

(nghìn đồng).

b) Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trong 1 giờ là





3

480

0, 03

C x

x





(nghìn đồng).

c) Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trên quãng đường 1 km giảm khi vận tốc của tàu thuộc





0;30

.

d) Tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy trên quãng đường 1 km nhỏ nhất là 43 (nghìn đồng).

Câu 5. Nhà máy

A

chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy

B

. Hai nhà

máy thỏa thuận rằng, hằng tháng

A

cung cấp cho

B

số lương sản phẩm theo đơn đặt hàng

của

B

(tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là

x

tấn sản phẩm thì giá bán cho

mỗi tấn sản phẩm của

A

cho

B

được biểu diễn bởi công thức:





2

45

0, 001

P x

x





(triệu

đồng). Chi phí để

A

sản xuất

x

tấn sản phẩm trong một tháng là





100

30

C x

x





triệu

đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

a) Lợi nhuận mà

A

thu được khi bán

x

tấn sản phẩm





0

100

x





cho

B

được biểu diễn

bởi công thức





3

0, 001

15

100

H x

x

x

 





.

b) Số tiền mà

A

thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho

B

là 600 triệu đồng.

c) Nhà máy

A

bán cho nhà máy

50

2

70, 7

B



tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi

nhuận lớn nhất.

d) Chi phí để

A

sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.

Câu 6. Một loại thuốc được đùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu

của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau

khi tiêm vào cơ thể trong

t

giờ được cho bởi công thức









2

mg / l

1

t

c t

t





.

a) Sau khi tiêm thuốc 2 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân bằng





0, 4 mg / l

.

b) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân có thể vượt quá





0, 5 mg / l

.

c) Sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân cao nhất.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 45

d) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất bằng





0, 5 mg / l

.

Câu 7. Một sợi dây kim loại dài 6 cm . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn

có độ dài

x

cm được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông

(0

6)

x





.

a) Bán kính đường tròn là

.

x

r





b) Diện tích hình vuông là





2

6

.

4

x



c) ) Tổng diện tích hai hình là





2

4

12

36

.

16

x

x















d) Khi 𝑥 =

thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Câu 8. (Sở Lào Cai 2025) Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ (

mg / l

) của thuốc trong máu sau

x

phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công

thức:





2

30

2

x

C x

x





. (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning)

a) Thời điểm 1 phút sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu là





10 mg / l

.

b) Đạo hàm của hàm số





C x

là









2

2

2

60

30

2

x

C x

x









.

c) Trong khoảng thời gian từ 1 phút sau khi tiêm trở đi, nồng độ thuốc trong máu giảm dần.

d) Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm 2 phút sau khi tiêm.

Câu 9. (Sở Quảng Nam 2025) Nhà ông

A

cần làm một bể chứa nước có dạng khối

hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình chữ nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối

hộp tương ứng có thể tích bằng

3

1152dm

. Giả sử bề dày của thành bể và đáy bể là không

đáng kể, Giá thuê công nhân để làm bể là 400000 đồng

2

/m

. Gọi

x

là chiều rộng của đáy

bể (

x

là số dương và có đơn vị là dm ).

a) Chiều cao của bể nước là





2

384

dm

x

.

b) Diện tích xung quanh của bể chứa nước là





2

3072

dm

x

.

c) Tổng diện tích cần làm của bể chứa nước là





2

2

3072

6

dm

x

x



Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 46

d) Chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể nước theo yêu cầu là 3072000

đồng.

Câu 10. Một chất điểm chuyển động theo phương trình





3

2

3

6

4

s

t

t

t

t









, trong

đó

0

10,

t

t





tính bằng giây và





s

t

tính bằng mét.

a) Quãng đường chất điểm chuyển động trong





2 s

đầu tiên là





8 m

.

b) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm





3 s

t 

là





15 m / s

.

c) Tại thời điểm mà









22 m

s

t



thì gia tốc tức thời của chất điểm là





2

12 m / s

.

d) Tại thời điểm





2 s

t 

vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 11. (Liên Trường Nghệ An 2025) Nhân dịp Tết Trung thu, bác Oanh làm các

đèn lồng cho con. Mỗi đèn bác dùng một sợi dây đồng dài

24dm

cắt thành 3 đoạn để

uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất bác uốn thành

hình vuông

ABCD

có cạnh bằng





x dm

để làm đáy,

hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các

đường gấp khúc

ASC

và

BSD

. Khung đèn sau khi

hoàn thiện có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều

S

ABCD



và mặt ngoài của đèn được dán giấy màu

để trang trí ( xem các mối nối, dán là không đáng kể).

Khi đó ta có:

a) Độ dài cạnh bên của khung đèn bằng





6

x dm



.

b) Khi





2

x

dm



thì độ dài đường cao của khung đèn

là





14 dm

c) Khi tất cả các cạnh bằng nhau thì diện tích giấy

màu cần dùng là





2

9 1

3 dm



d) Thể tích phần không gian của đèn lồng lớn nhất khi

2, 79

x

dm



( Kết quả làm tròn đến

hàng phần trăm)

Câu 12. Một tấm nhôm hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh bằng 30 cm . Người ta gập tấm

nhôm theo hai cạnh 𝐸𝐹 và 𝐺𝐻 cho đến khi 𝐴𝐷 và 𝐵𝐶 trùng nhau như hình vẽ bên để

được mộthình lăng trụ khuyết hai đáy.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 47

a) Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức 𝑉 = 30𝑆 trong đó 𝑆 là diện tích của tam

giác 𝐴𝐸𝐺.

b) Giá trị của 𝑥 để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là 𝑥 = 10( cm).

c) Diện tích của tam giác 𝐴𝐸𝐺 bằng

√

30 ⋅

(15 − 𝑥)

⋅ (2𝑥 − 15).

d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng 1250 .

Câu 13. Một khu du lịch sinh thái đang khai thác dịch vụ chèo thuyền và ngắm cảnh

ven hồ. Hồ nước có dạng hình tròn tâm 𝑂, bán kính bằng 1 km và tại hai vị trí 𝐴, 𝐵 đối

xứng nhau qua 𝑂 người ta xây dựng nơi bán vé vào và nơi kết thúc thăm quan. Du khách

sẽ được sử dụng dịch vụ chèo thuyền từ vị trí 𝐴 đến vị trí 𝐶 trên bờ hồ và sẽ có xe chở

ngắm cảnh từ vị trí 𝐶 men theo bờ hồ đến nơi kết thúc 𝐵. Biết rằng vận tốc chèo thuyền

là 100 m mỗi phút và vận tốc xe chạy ngắm cảnh là 200 m mỗi phút. Gọi 𝑥 (radian) là số

đo góc 𝐶𝐴𝐵 0 ≤ 𝑥 <

𝜋

2

.

a) Khi 𝑥 = 0 thời gian đi từ 𝐴 đến 𝐵 là 20 phút.

b) Quang đường xe chở người đi ngắm cảnh là 1000𝑥 ( mét).

c) Thời gian đi từ 𝐴 đến 𝐵 là 20cos 𝑥 + 5𝑥 (phút).

d) Thời gian xe đi từ 𝐴 đến 𝐵 luôn ít hơn 22 phút 30 giây với mọi cách chọn từ vị trí điểm

𝐶.

Câu 14. Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20-10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một

món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình

vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết

định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không

đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là ℎ và 𝑥.

a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là 𝑉 = 𝑥 ℎ.

b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là 𝑆 = 2𝑥

+ 4𝑥ℎ.

c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là 𝑆

= 2𝑥

+ 4𝑥ℎ.

d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp 𝑥 lớn hơn 4 thì 𝑥 càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 48

Câu 15. Một tấm nhôm hình vuông cạnh 240cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm

đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm), rồi gập tấm nhôm lại

như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.

Câu 16. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật thể sau thời

gian t giây được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 5 mét với tốc độ ban đầu

39,2 m/s là ℎ(𝑡) = 5 + 39,2𝑡 − 4,9𝑡 , chọn chiều dương là chiều hướng từ dưới lên (theo

Vật li đại cương, 𝑁𝑋𝐵 Giáo dục Việt Nam, 2016). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Vận tốc của vật sau 3 giây là 4,6 m/s

b) Khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét dài hơn 7 giây.

c) Vận tốc của vật lúc chạm đất sấp xi −40,43 m/s.

d) Vật đạt độ cao lớn nhất bằng 83,4 mét tại thời điểm 𝑡 = 4 giây.

Câu 17. Trong một phòng thí nghiệm có máy đo nồng độ khí CO cho thấy: nồng độ khí

CO trong phòng thay đổi theo thời gian 𝑡 (tính bằng giờ) và được thể hiện qua hàm số

𝑓(𝑡) = 400 +

(ppm), với 𝑡 ≥ 0 (Khi nói nồng độ khí CO trong không khí là 400

ppm , điều đó có nghĩa là: Trong một triệu phần thể tích của không khí, có 400 phần thể

tích là khí CO ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nồng độ khí CO trong phòng tại thời điểm 𝑡 = 0 là 400(ppm).

b) 𝑓 (𝑡) =

(

)

vói 𝑡 ≥ 0.

c) Nghiệm của phương trình 𝑓 (𝑡) = 0 là 𝑡 = 2.

d) Nồng độ khí CO cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị)

là 947 (ppm).

Câu 18. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà

máy thoả thuận rằng, hằng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm

theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Biết rằng, nếu số lượng đặt

hàng là 𝑥 (tấn) sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là 𝑃(𝑥) = 45 − 0,001𝑥 (triệu

đồng) và chi phí để nhà máy A sản xuất được 𝑥 (tấn) sản phẩm trong một tháng là 𝐶(𝑥) =

100 + 30𝑥 (triệu đồng, gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn

sản phẩm).

a) Lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán 𝑥 (tấn) sản phẩm ( 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 ) cho nhà

máy B là 𝐻(𝑥) = −0,001𝑥

+ 15𝑥 − 100.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 49

b) Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.

c) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 600 triệu đồng.

d) Nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi

nhuận lớn nhất.

Câu 19. Nhịp tim của một vận động viên chạy sau t giây





0

t 

kể từ khi rời vạch

xuất phát được cho bởi công thức





2

1

300

2

25

2

25

t

t

P t

t











(số nhịp tim/ phút). Biết

rằng, với vận động viên đó bác sĩ đã đưa ra lời khuyên không nên đẩy nhịp tim quá 175

(số nhịp tim/ phút) đề tránh tình trạng quá tải cho tim.

a) Nhịp tim của vận động viên đó không vượt quá

150

2

(số nhịp tim/phút).

b) Trong 2 phút đầu tiên kể từ khi xuất phát, nhịp tim của vận động viên đó vẫn trong

ngưỡng cho phép theo lời khuyên của bác sĩ .

c) Công thức cho biết tốc độ thay đổi nhịp tim theo thời gian

t

là





2

2

3450

2

(

25)

4

50

t

P t

t

t

t















d) Tốc độ thay đổi nhịp tịm của vận động viên đó tại thời điểm 1,5 phút sau khi xuất phát

bằng 2,63 lần ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) tốc độ thay đổi nhịp tim tại thời

điểm 0,5 phút sau khi xuất phát.

Phần B. Tự luận (Trả lời ngắn)

Bài 1. Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức

 

2

0,1

1,2

98, 6

T t

t

t

 





, trong đó

T

là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo nhiệt độ

Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi của nhiệt độ lớn nhất của

cơ thể người đó.

Bài 2. Doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số

năm nhất định) được mô hình hoá bằng hàm số

24000

( )

,

0,

1

6

t

f

t

t

e









trong đó thời gian

t

được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Tốc độ bán hàng lớn nhất đạt

được khi

ln

t

a



. Tìm

.

a

Bài 3. Một công ty trung bình bán được 900 cái máy lọc nước mỗi tháng với giá 8

triệu đồng/cái. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 100 nghìn

đồng thì số lượng máy lọc bán ra tăng 10 cái. Biết hàm chi phí là

9

( )

2000

5

C x

x





(triệu đồng), với

x

là số máy lọc bán ra trong tháng. Tìm lợi nhuận lớn nhất mà công ty

thu được (tính theo triệu đồng).

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 50

Bài 4. Một hồ nước ở Bắc Ontario đã được phụ hồi sau một vụ tràn axit khiến tất cá

hồi ở đó chết. Một chương trình tái thả cá đã thả

800 con cá hồi vào hồ. Ba năm sau, số lượng

được ước tính là 6000 con. Sức chứa của hồ

được cho là 8000 con. Để đánh giá khả năng tăng

trưởng, người ta mô phỏng số lượng cá trong hồ

qua

từng

năm

thông

qua

hàm

số

( )

( ,

,

)

1

t

c

P t

a b c

ab











, có đồ thị như

hình vẽ bên dưới (trong đó

t

tính theo năm kể từ

lúc bắt đầu thả cá vào hồ). Sử dụng mô hình trên hãy tính tốc độ tăng trưởng tối đa (đơn vị

con/năm) của đàn cá. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Bài 5. Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được

x

mét vải lụa





1

18 .

x





Tổng chi phí sản xuất

x

mét vải lụa tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm

chi phí

3

2

( )

3

20

500.

C x

x

x

x









Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm

mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi

( )

B x

là số tiền bán được và

( )

L x

là lợi nhuận

thu được khi bán

x

mét vải lụa. Lợi nhuận tối đa mà hộ này thu được là bao nhiêu?

Bài 6. Hằng tháng, nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo số

lượng đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là

x

tấn sản phẩm một tháng thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức

2

( )

50

0, 001

P x

x





(triệu đồng). Chi phí để A sản xuất

x

sản phẩm trong một tháng là

( )

95

35

C x

x





(triệu đồng). Hỏi lợi nhuận lớn nhất nhà máy A có thể thu được trong

một tháng khi bán hàng cho nhà máy B là bao nhiêu triệu đồng?

Bài 7. Một công ty X sản xuất máy tính bảng cho học sinh, bán được

x

máy mỗi

tháng. Giá bán mỗi máy tính bảng được cho bởi công thức

( )

8600

10

p x

x





(nghìn

đồng). Chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là

2

1000

( )

4

500

c x

x

x

x









(nghìn

đồng). Hỏi công ty X sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng mỗi tháng để lợi nhuận là cao nhất?

Bài 8. Nhà máy A chuyển sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy

thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của

B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là

x

tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi

tấn sản phẩm là

2

( )

90

0, 01

P x

x





(triệu đồng). Chi phí để A sản xuất

x

tấn sản phẩm

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 51

trong một tháng là

1

( )

(200

27 )

2

C x

x





(triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy

A phải đóng cho nhà nước là 10% tổng doanh thu mỗi tháng. Nhà máy A bán cho B bao

nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Bài

9.

Nếu

một

doang

nghiệp

sản

xuất

x

sản

phẩm

trong

một

tháng





*

;1

4500

x

x









thì doanh thu nhận được sau khi bán hết số sản phẩm đó là

2

( )

0, 01

300

F x

x

x

 



(nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho mỗi

sản phẩm là

30000

( )

200

G x

x





(nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn

được bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để

lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng?

Bài 10. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản

xuất và bán hết

x

sản phẩm đó

(0

2000)

x





, tổng số tiền doang nghiệp thu được (đơn

vị: chục nghìn đồng) là

2

( )

2000

f

x

x

x





và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng)

doanh nghiệp chi ra là

2

( )

1440

50.

g x

x

x







Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn

vị sản phẩm bán được là

t

(chục nghìn đồng)

(0

300)

t

 

. Mức thuế phụ thu

t

(trên

một đơn vị sản phẩm) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh

nghiệp cũng thu được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó là bao nhiêu đồng?

Bài 11. Một công ty muốn đầu tư vào hệ thống điện mặt trời có công suất

x

(đơn vị

tính MW). Theo nghiên cứu cho thấy một số thông

tin sau: Chi phí ban đầu là

1

( )

1400

55

C x

x





(tỷ đồng). Doanh thu hằng năm là

2

( )

28

0,15

R x

x

x





(tỷ

đồng/năm).

Chi

phí

vận

hành

hằng

năm

là

2

2

(

)

12

0, 35

0, 012

C x

x

x







(tỷ

đồng/năm). Hãy tìm công suất

x

(làm tròn đến hàng đơn vị) để tối đa hóa lợi nhuận trên

đầu tư, được tính là tỷ lệ lợi nhuận hằng năm trên chi phí ban đầu. c

Bài 12. Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng

tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một

cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm

100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi

căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

Bài 13. Một công ty kinh doanh bất động sản có 20 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu

cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 triệu đồng/1 tháng thì tất cả các căn hộ đều có người thuê.

Nhưng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 200 nghìn đồng/1 tháng thì có thêm

một căn hộ bị bỏ trống. Hỏi công ty nên cho thuê mỗi căn hộ bao nhiêu tiền một tháng để

tổng số tiền thu được là lớn nhất?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 52

Bài 14. Năm 2025, một cửa hàng cần nhập về tổng cộng 600 chiếc điện thoại. Cửa

hàng sẽ nhận theo nhiều lô hàng, mỗi lô hàng chứa số lượng điện thoại bằng nhau. Chi phí

vận chuyển là 50 USD cho mỗi lô hàng, cộng thêm một loại chi phí vận chuyển nữa là 3

USD cho mỗi chiếc điện thoại và phí này cả năm chỉ tính cho lần vận chuyển đầu tiên. Hỏi

cửa hàng đó nên nhập mỗi lô hàng bao nhiêu chiếc điện thoại để chi phí vận chuyển cả

năm 2025 là thấp nhất?

Bài 15. Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoạch được 1 tấn rau. Mỗi

ngày nếu giá bán rau là 30000 đồng/1kg thì bán hết rau, nếu giá bán rau tăng 1000 đồng/kg

thì số rau thừa ra 20 kg. Số rau thừa này được mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá

2000 đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán

rau với giábao nhiêu nghìn đồng?

Bài 16. Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản

xuất 9000 quả bóng rồ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất 36 quả

bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là 250 nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá

trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho

người giám sát là 225 nghin đồng mỗi giờ. Số máy móc công ty cần sử dụng để chi phí

hoạt động đạt mức thấp nhất là bao nhiêu?

Bài 17. Mỗi tuần, một cửa hàng bán điện thoại di động trung bình bản được 1000

điện thoại A với giá 14 triệu đồng một cái. Biết rằng, nếu cử giảm giá bản 500 nghìn đồng/1

cái, số lượng điện thoại A bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 cái mỗi tuần. Biết rằng nếu bán

x

cái điện thoại A thì giá mỗi cái là

( )

p x

(triệu đồng) và hàm chỉ phí hàng tuần

( )

12000

3

C x

x





(triệu đồng). Để lợi nhuận là lớn nhất, cửa hàng nên bản mỗi cái điện

thoại A với giá bao nhiêu (triệu đồng)?

Bài 18. Một xe ô tô chở khách du lịch có sức chứa tối đa là 16 hành khách. Trong

một khu du lịch, một đoản khách gồm 24 người đang đi bộ và muốn thuê xe về khách sạn.

Lái xe đưa ra thỏa thuận với đoàn khách du lịch như sau: Nếu một chuyến xe chở

x

(người) thì giá tiền cho mỗi người là

2

(44

)

2

x



(nghìn đồng). Với lợi nhuận như trên, thì

lái xe có thể thu được nhiều nhất bao nhiêu triệu đồng từ một chuyến chở khách (làm tròn

đến hàng phần trăm)?

Bài 19. Trong trung tâm thương mại Lotte thành phố Vinh, có một nhà hàng bán

buffet hải sản. Khi nhà hàng bán với giá 200 ngàn đồng một suất thì mỗi ngày nhà hàng

bán được 100 suất. Nhà hàng dự định có đợt giảm giá để kích cầu trong dịp cuối năm. Theo

khảo sát từ thị trường thi mỗi lần giảm giá 10 ngàn đồng một suất thì nhà hàng bán thêm

được 10 suất. Hỏi nhà hàng cần bán với giá mới là bao nhiêu ngàn đồng một suất để doanh

thu trong một ngày là lớn nhất?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 53

Bài 20. Bác Bình có một nông trại ao nuôi cá, mỗi ngày thu hoạch được 2 tấn cá. Nếu

bán cho thương lái với giá 30 nghìn đồng/kg thì hết cá, nếu giá bán cứ tăng thêm 2 nghìn

đồng/kg thì số cá thừa sẽ tăng thêm 10 kg. Số cá thừa này được bán để làm thức ăn cho

động vật với giá 10 nghin đồng/kg. Hỏi bác Bình phải bán với giá bao nhiêu nghìn đồng/kg

để số tiền bán cá mỗi ngày đạt doanh thu lớn nhất?

Bài 21. Một nhà xuất bản nhận in 4000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in

được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được 30 ấn

phẩm trong một giờ. Chỉ phí cải đặt máy in là 12 USD cho một máy, chỉ phí giám sát là

9USD một giờ. Tính số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất ?

Bài 22. Giả sử chỉ phí đặt hàng và vận chuyển

C

(đơn vị: triệu đồng) của một linh

kiện

được

sử

dụng

trong

sản

xuất

một

xác

định

bởi

công

thức

2

19200000

27

( )

,

1.

3000

x

C x

x

x

x









Trong đó

x

là số linh kiện được đặt hàng và

vận chuyển. Tìm

x

để chi phí đặt hàng và vận chuyển cho mỗi linh kiện trên là nhỏ nhất.

Bài 23. Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn uống đồng giá có chiến lược kinh doanh

như sau: Phí cố định được ước tính trong một năm là 55 triệu đồng. Chi phí một phần ăn

ước tính khoảng 22 nghìn đồng. Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng. Giả định

rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu x là số phần ăn trong một

năm, giả sử

x

là số nguyên thuộc [5000:25000]. Mục tiêu của chủ nhà hàng là tạo ra lợi

nhuận ít nhất là 135 triệu đồng mỗi năm. Biết rằng nhà hàng mở cửa 300 ngày một năm,

hỏi trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất bao nhiêu phần ăn để đạt mục tiêu

trên?

Bài 24. Trận bóng đá giao hữu giữa đội tuyển Việt Nam và Singapore ở sân vận động

Mỹ Đình có sức chứa 60 000 khán giả. Ban tổ chức bán vé với giá mỗi vẻ là 100 nghìn

đồng, số khán giả trung bình đến sân xem bóng đá là 24 000 người. Qua thăm dò dư luận,

người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán

giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất với

đơn vị tỉnh giá vé là nghìn đồng?

Bài 25. Năm 2025, một cửa hàng cần nhập về tổng cộng 600 chiếc điện thoại. Cửa

hàng sẽ nhận theo nhiều lô hàng, mỗi lô hàng chứa số điện thoại bằng nhau. Chi phí vận

chuyển là 50 USD cho mỗi lô hàng, cộng thêm một loại phi vận chuyển là 3 USD cho mỗi

chiếc điện thoại và phí này cả năm chỉ tỉnh cho lần vận chuyển đầu tiên. Hỏi cửa hàng đó

nên nhập mỗi lô hàng bao nhiêu chiếc điện thoại để chi phí vận chuyển cả năm 2025 thấp

nhất?

Bài 26. Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là 30 nghìn đồng/1kg, bản

ra là 35 nghìn đồng /1kg. Với giá bản này thì số gạo bán được trong một tháng là 12000

kg. Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm

giá bản và ước tính rằng nếu giảm 1 nghìn đồng / 1kg thì số lượng gạo bản ra trong một

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 54

tháng sẽ tăng thêm 4000 kg. Cửa hàng phải định giá bán gạo mới là bao nhiêu nghìn đồng

một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?

Bài 27. Một đại lý nhập khẩu trái cây tươi để phân phối cho các cửa hàng. Mỗi lần

nhập khẩu trái cây, khoảng chi phí vận chuyển (không đổi) là 25 triệu đồng. Chỉ phí bảo

quản mỗi tạ trái cây trong kho là 80 nghìn đồng/ngày. Thời gian bảo quản tối đa 10 ngày.

Biết rằng, kể từ ngày đầu tiên nhập hàng, đại lý sẽ phân phối tới các của hàng 25 tạ trái cây

mỗi ngày. Mỗi lần nhập hàng, đại lý phải nhập đủ trái cây cho bao nhiêu ngày phân phối

để chi phí trung bình cho mỗi ngày thấp nhất (bao gồm chi phí vận chuyển và chi phí bảo

quản trong kho)?

Bài 28. Chi phí về nhiên liệu của một con tàu được chia làm hai phần. Phần chi phí

thứ nhất không phụ thuộc vào tốc độ tàu và bằng 480 nghìn đồng mỗi giờ. Chi phí phần

thứ hai trên 1 km đường ti lệ thuận với lập phương của tốc độ tảu, khi tốc độ bằng 20 km/h

thì chỉ phí phần thứ hai bằng 100 nghìn đồng mỗi giờ. Giả sử con tàu đó luôn giữ nguyên

tốc độ di chuyển, để tổng chi phínhiên liệu trên 1 km đường là nhỏ nhất thì tốc độ của con

tàu đó bằng bao nhiêu km/h ? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Bài 29. Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu

tư quảng cáo là

A

(triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm

bán

ra

(đơn

vị:

sản

phẩm)

phụ

thuộc

vào

chi

phí

quảng

cáo

theo

hàm:

1013

(

)

1000

ln(1

)

3

q A

A







. Biết rằng, chỉ phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu

đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể

đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Bài 30. Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp

cụt tứ giác đều. Gọi

x

là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí

vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là:





2

27

C x

x





(nghìn đồng). Thời

gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là:





3

T x

x





(giờ).

Xưởng muốn xác định kích thước

x

để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là

thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của

x

.

Bài 31. Một chất điểm chuyển động theo phương trình

3

2

9

10

S

t

t

t



  



trong đó t tính bằng giây và S tính bằng mét. Thời gian để vận tốc của chất điểm đạt giá trị

lớn nhất là bao nhiêu?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 55

Bài 32. Một vật chuyển động theo quy luật

3

2

1

( )

6

3

s t

t

t

 



với t (giây) là khoảng

thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được

trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển

động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

Bài 34. Người ta muốn làm một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông và

thể tích là 10 l. Diện tích toàn phần nhỏ nhất của

hộp là bao nhiêu?

Bài 35. Từ một miếng bìa có độ dài hai

cạnh lần lượt là 0,9 m và 1,5 m như hình bên.

Bạn Minh cắt đi phần tô màu xám và gấp lại để

được một hình hộp chữ nhật. Gọi V là thể tích

hình hộp chữ nhật được tạo thành, V được tính

theo

x

bởi công thức nào? Tìm

x

để hình hộp

tạo thành có thể tích lớn nhất.

Bài 36. Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng

với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng,

người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau.

Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng

3

9m

và giá thành

2

1m

gỗ sử dụng là 20 000 đồng. Hỏi sau khi hoàn thành kiện

hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng?

(Diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể)

Bài 37. Người ta muốn làm một cái bồn chứa nước dạng hình hộp chữ nhật không có

nắp đậy, đáy thùng có chiều dài gấp ba lần chiều rộng và có thể tích 18 000 lít. Để giảm

chi phí, người ta cần phải thiết kế sao cho tổng diện tích các mặt của bồn chứa nước là nhỏ

nhất.Tính chi phí thấp nhất (đơn vị tính triệu đồng) để sản xuất ra một cái bồn. Biết rằng

giá vật liệu là 400 nghìn đồng/

2

m

và giá thiết kế, thi công, hoàn thiện cái bồn là 300 nghìn

đồng/

2

m

.

Bài 38. Một người muốn tạo khối hộp đựng quà

khối lăng trụ tam giác đều, không có nắp bằng cách

cắt ba góc của một tam giác đều cạnh

a

các đoạn

bằng

,

0

2

a

x

x





























phần còn lại là một tam giác

đều bên ngoài là các hình chữ nhật, rồi gấp các hình

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 56

chữ nhật lại tạo thành khối lăng trụ tam giác đều như hình vẽ. Tìm độ dà

x

để thể tích khối

lăng trụ lớn nhất.

Bài 39. Công ty của Bác An định làm một bể chứa nước có dạng hình trụ có nắp đậy

bằng thép không gỉ có thể tích là

3

2 (

)

m



để đựng nước. Biết giá mỗi mét vuông thép

không gỉ là 500 nghìn đồng. Hỏi chi phí nguyên vật liệu làm mỗi bể nước thấp nhất là bao

nhiêu? (kết quả tính bằng đơn vị nghìn đồng và lấy

3,14.

 

).

Bài 40. Cho hình vuông

ABCD

có cạnh bằng 4, chính

giữa có một hình vuông đồng tâm với

ABCD

. Biết rằng bốn

tam giác là bốn tam giác cân. Hỏi tổng diện tích phần tô màu

nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần

trăm)

Bài 41. Trong đợt chào mừng kỷ niệm ngày 26 tháng 3, trường X có tổ chức cho các

lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham

gia hoạt động, một lớp đã nghĩ ra ý tưởng như sau: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một

chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều rộng là 4m và chiều dài là 6m, bằng cách

gấp đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép

chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau

x

(m). Tìm

x

để khoảng không gian

phía trong lều là lớn nhất.

Gợi ý, hướng dẫn giải bài tập phần tự luyện.

Phần A. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. (Cụm trường THPT Hải Dương 2025) Cho hàm số









92

20ln

1

f

x

x







.

a) Tập xác định của hàm số





y

f

x



là





1;

D



 



.

b) Hàm số





y

f

x



nghịch biến trên khoảng





1;







.

c) Bất phương trình





72

f

x



có đúng 3 nghiệm nguyên.

d) Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau khi tham gia một khóa học, phần trăm kiến thức sinh

viên còn nhớ sau

t

tháng kết thúc khóa học được xác định bởi hàm số





y

f

t



, trong đó





f

t

được tính bằng

%

và

0

24

t

 

. Phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ

50%

khi

7

t 

(kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 57

Lời giải

a) Hàm số









92

20ln

1

y

f

x

x









xác định khi

1

0

1

x

x

 

  

.

Vậy tập xác định của hàm số là





1;

D



 



.

Suy ra a) đúng.

b)

















20

92

20ln

1

0,

1;

1

y

f

x

x

f

x

x

x

















  









. .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng





1;







.

Suy ra b) đúng.

c)













1

72

92

20ln

1

72

ln

1

1

1

1

1

x

f

x

x

x

x

e

x

e

 





















  













.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là





1;

1

S

e

 



.

Suy ra bất phương trình có đúng 2 nghiệm nguyên là

0.

1

x

x





.

Suy ra c) sai.

d) Phần trăm kiến thức sinh viên chỉ còn nhớ

50%









92

20ln

1

50

21

ln

1

7,2 (tháng).

10

t

t

t















 

Chọn đúng.

Câu 2. Trong một trò chơi thử thách, bạn Giáp đang ở trên thuyền (vị trí

A

) cách bờ

hồ (vị trí C ) 300 m và cần đi đến vị trí

B

trên bờ hồ như hình vẽ,

khoảng cách từ

C

đến

B

là 400 m , lưu ý là Giáp có thể chèo thuyển thẳng từ

A

đến

B

hoặc chèo thuyền từ

A

đến một điểm nằm giữa

C

và

B

rồi chạy bộ đến

B

.

Biết rằng Giáp chèo thuyền với tốc độ

50 m / phút

và chạy bộ với tốc độ

100 m / phút

.

a) Thời gian Giáp chèo thuyền thẳng từ

A

đến

B

là là 10 phút.

b) Thời gian Giáp chèo thuyền từ

A

đến

C

rồi chạy bộ từ

C

đến

B

là là 10 phút.

c) Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm

D

nằm giữa

B

và

C

và cách

C

một đoạn

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 58





m

x

như hình vẽ dưới đây, rồi chạy bộ đến

B

thì thời gian Giáp đi từ

A

đến

B

được

tính bằng công thức









2

1

90000

400

(phút).

100

f

x

x

x









d) Thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ

A

đến

B

xấp xi 9,2 phút (kết quả làm tròn đến hàng

phần chục).

Lời giải

a)

2

2

500 m

AB

AC

CB







. Suy ra thời gian đi thẳng từ

A

đến

B

là 10 phút.

Suy ra a) đúng.

b) Thời gian đi từ

A

đến

C

rồi chạy bộ từ

C

đến

300

400

10

50

100

B





phút.

Suy ra b) đúng.

c) Ta có









2

2

300

m ,

400

m

AD

x

DB

x









với



0

400

x





.

Thời gian đi từ

A

đến

B

là









2

2

90000

400

1

2

90000

400

50

100

100

x

x

f

x

x

x

















(phút).

Suy ra c) sai.





































2

0;400

1

d) Ta có

,

0

100

3

0;100 .

100

50

90000

0

10,

100

3

300

3

400

9, 2,

400

10.

min

100

3

9,2 (phút).

x

f

x

f

x

x

x

f

f

f

f

x

f







 

























Suy ra a) đúng.

Câu 3. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất

8000 quả bóng pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất

30 quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập các máy này là 200 nghìn đồng cho mỗi máy.

Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát (người

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 59

giám sát sẽ giám sát tất cả các máy). Số tiền phải trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng

một giờ.

a) Trong 1 giờ, cần 266 máy để sản xuất được 8000 quả bóng pickleball.

b) Trong

8

3

giờ, cần 100 máy để sản xuất được 8000 quả bóng pickleball.

c) Chi phí hoạt động thấp nhất là 6,5 triệu đồng.

d) Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng 16 máy.

Lời giải

a) Trong 1 giờ, cần số máy để sản xuất được 8000 quả bóng pickleball là:

8000 : 30

267



(máy) Nên khẳng định a) sai.

b) Trong

8

3

giờ, cần số máy để sản xuất được 8000 quả bóng pickleball là:

8

8000 :

30

100 (máy)

3

















Nên khẳng định

b

) đúng.

c) Gọi





,

x

x  

là số máy công ty có.

Chi phí thiết lập là:

200x

(nghìn đồng).

Số giờ cần để sản xuất 8000 quả bóng là:

8000

30x

(giờ).

Số tiền trả cho giám sát là:

8000.192

51200

30x

x



(nghìn đồng).

Tổng chi phí là:

51200

200

T

x

x





(nghìn đồng).









2

2

2

51200

200

51200

0

200

0

256

16

T

x

x

T

x

x

x

x



















 





Bảng biến thiên:

Vậy chi phí hoạt động thấp nhất là 6,4 triệu đồng.

Nên khẳng định c) sai.

d) Để chi phí hoạt động thấp nhất, công ty cần sử dụng 16 máy.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 60

Nên khẳng định d) đúng.

Câu 4. Chi phí nguyên liệu của một con tàu chạy trên sông được chia làm hai phần.

Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghin đồng trên 1 giờ. Phần thứ

hai ti lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi

10 km / h

v 

thì chi phí nguyển liệu phần

thứ hai bằng 30 nghìn đồng /giờ. Gọi





km / h

x

là vận tốc của tàu.

a) Chi phí nhiên liệu cho phần thứ nhất trong thời gian tàu chạy quãng đường 1 km là

480

x

(nghìn đồng).

b) Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trong 1 giờ là





3

480

0, 03

C x

x





(nghìn đồng).

c) Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy trên quãng đường 1 km giảm khi vận tốc của tàu thuộc





0;30

.

d) Tổng chi phí nhiên liệu để tàu chạy trên quãng đường 1 km nhỏ nhất là 43 (nghìn đồng).

Lời giải

a) Thời gian để tàu chạy quãng đường 1 km là

1

x

. Chi phí nhiên liệu phần thứ nhất cho

quãng đường tàu chạy 1 km là

1

480

480

x

x





(nghìn đồng).

Do đó mệnh đề đúng.

b) Chi phí nhiên liệu phần một để tàu chạy 1 giờ là 480 (nghìn đồng).

Vì Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, nên ta có:

3

2

P

k

x





.

Vì khi

10 km / h

v 

thì chi phí nguyên liệu phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng /giờ nên

3

3

30

30

10

0, 03

10

k

k





 



. Suy ra

3

2

0, 03

P

x



. (nghìn đồng).

Tổng chi phí nhiên liệu tàu chạy 1 giờ là





3

480

0, 03

C x

x





(nghìn đồng). Do đó mệnh đề

đúng.

c) Chi phí nhiên liệu cho quãng đường 1 km là





3

480

0, 03

C x

x

x





.

Ta có:





4

2

2

2

480

0, 09

480

0, 09

x

C x

x

x

x



 







.





4

4

480

0

0, 09

480

0

.

0, 09

C x

x

x











 

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 61

Tổng chi phí nhiên liệu cho tàu chạy trên quãng đường 1 km giảm khi vận tốc của tàu

thuộc

4

480

0;

0, 09

















. Do đó mệnh đề sai.

d)

Tổng

chi

phí

nhiên

liệu

cho

tàu

chạy

trên

quãng

đường

1

km

nhỏ

nhất

là

4

480

74,89

0, 09

C



















(nghìn đồng). Do đó mệnh đề sai.

Câu 5. Nhà máy

A

chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy

B

. Hai nhà

máy thỏa thuận rằng, hằng tháng

A

cung cấp cho

B

số lương sản phẩm theo đơn đặt hàng

của

B

(tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là

x

tấn sản phẩm thì giá bán cho

mỗi tấn sản phẩm của

A

cho

B

được biểu diễn bởi công thức:





2

45

0, 001

P x

x





(triệu

đồng). Chi phí để

A

sản xuất

x

tấn sản phẩm trong một tháng là





100

30

C x

x





triệu

đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

a) Lợi nhuận mà

A

thu được khi bán

x

tấn sản phẩm





0

100

x





cho

B

được biểu diễn

bởi công thức





3

0, 001

15

100

H x

x

x

 





.

b) Số tiền mà

A

thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho

B

là 600 triệu đồng.

c) Nhà máy

A

bán cho nhà máy

50

2

70, 7

B



tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi

nhuận lớn nhất.

d) Chi phí để

A

sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.

Lời giải

a. Đúng

Doanh thu của

A

khi bán

x

tấn sản phẩm cho

B

là:









2

3

45

0, 001

0, 001

45

xP x

x

x

x

x





 



.

Lợi nhuận mà

A

thu được khi bán

x

tấn sản phẩm





0

100

x





cho

B

được biểu diễn

như sau:









3

3

0, 001

45

100

30

0, 001

15

100

H x

x

x

x

x

x

 







 





.

b. Sai

Số tiền mà

A

thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho

B

là:

3

0, 001 10

45 10

449











(triệu

đồng).

c. Đúng

Ta có:





2

0, 003

15

H x

x

 





.





2

0

0, 003

15

0

50

2

H x

x

x





 





 

(chọn)

Ta có













0

100;

50

2

500

2

100;

100

400

H

H

H

 







.

Vậy

A

bán cho

B

khoảng

50

2

70, 7



tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 62

lớn nhất bằng





50

2

500

2

100

H





.

d. Đúng

Chi phí để

A

sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là:





10

100

30.10

400

C







(triệu đồng).

Câu 6. Một loại thuốc được đùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu

của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau

khi tiêm vào cơ thể trong

t

giờ được cho bởi công thức









2

mg / l

1

t

c t

t





.

a) Sau khi tiêm thuốc 2 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân bằng





0, 4 mg / l

.

b) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân có thể vượt quá





0, 5 mg / l

.

c) Sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân cao nhất.

d) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất bằng





0, 5 mg / l

.

Câu 7. Một sợi dây kim loại dài 6 cm . Người ta cắt sợi dây đó thành hai đoạn. Đoạn

có độ dài

x

cm được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông

(0

6)

x





.

a) Bán kính đường tròn là

.

x

r





b) Diện tích hình vuông là





2

6

.

4

x



c) ) Tổng diện tích hai hình là





2

4

12

36

.

16

x

x















d) Khi 𝑥 =

thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Câu 8. (Sở Lào Cai 2025) Khi loại thuốc A được tiêm vào bệnh nhân, nồng độ (

mg / l

) của thuốc trong máu sau

x

phút (kể từ khi bắt đầu tiêm) được xác định bởi công

thức:





2

30

2

x

C x

x





. (Nguồn: James Stewart, J. (2015). Calculus. Cengage Learning)

a) Thời điểm 1 phút sau khi tiêm, nồng độ thuốc trong máu là





10 mg / l

.

b) Đạo hàm của hàm số





C x

là









2

2

2

60

30

2

x

C x

x









.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 63

c) Trong khoảng thời gian từ 1 phút sau khi tiêm trở đi, nồng độ thuốc trong máu giảm dần.

d) Nồng độ thuốc trong máu đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm 2 phút sau khi tiêm.

Lời giải

Ta có:













2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

t

t

t

c

t

t

t



 











.





2

0

1

0

1

c

t

t

t



 



 



(vì

0

t 

).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có:

a) Sau khi tiêm thuốc 2 giờ thì nồng độ thuốc trong máu của bện nhân bằng

2

0, 4

5



.

Đúng.

b) Từ bảng biến thiên ta có max

(

;

)

 𝑐(𝑡) = ⇔ 𝑡 = 1. Suy ra sau khi tiêm thuốc thì nồng

độ thuốc trong máu của bệnh nhân có thể vượt quá 0,5 . Sai.

c) Từ bảng biến thiên ta có max

(

;

)

 𝑐(𝑡) = ⇔ 𝑡 = 1. Suy ra sau khi tiêm thuốc 1 giờ thì

nồng độ thuốc trong máu của bện nhân cao nhất. Đúng.

d) Sau khi tiêm thuốc thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất bằng

0,5(mg/l).

Câu 9. (Sở Quảng Nam 2025) Nhà ông

A

cần làm một bể chứa nước có dạng khối

hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình chữ nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối

hộp tương ứng có thể tích bằng

3

1152dm

. Giả sử bề dày của thành bể và đáy bể là không

đáng kể, Giá thuê công nhân để làm bể là 400000 đồng

2

/m

. Gọi

x

là chiều rộng của đáy

bể (

x

là số dương và có đơn vị là dm ).

a) Chiều cao của bể nước là





2

384

dm

x

.

b) Diện tích xung quanh của bể chứa nước là





2

3072

dm

x

.

c) Tổng diện tích cần làm của bể chứa nước là





2

2

3072

6

dm

x

x



Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 64

d) Chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể nước theo yêu cầu là 3072000

đồng.

Lời giải

a) Chiều rộng của đáy bể là 𝑥(𝑥 > 0).

⇒ Chiều dài của đáy bể là 3𝑥.

Gọi chiều cao của bể nước là ℎ(ℎ > 0).

Theo bài ra, ta có thể tích của bể nước là: 𝑥 ⋅ 3𝑥 ⋅ ℎ = 1152 ⇒ ℎ =

(dm).

Chọn ĐÚNG.

b) Diện tích xung quanh của bể chứa nước là: 2𝑥 ⋅

+ 6𝑥 ⋅

=

(

dm

)

.

Chọn ĐÚNG.

c) Diện tích đáy bể là: 𝑆

day

= 𝑥 ⋅ 3𝑥 = 3𝑥 .

Tổng diện tích cần làm của bể chứa nước là 𝑆 = 𝑆

+ 𝑆

=

+ 3𝑥 .

Chọn SAI.

d) Để chi phí thấp nhất thì diện tích cần lâm của bể chứa nước là nhỏ nhất hay 𝑓(𝑥) =

+ 3𝑥 đạt giá trị nhỏ nhất với 𝑥 > 0.

Ta có: 𝑓 (𝑥) = −

+ 6𝑥 = 0 ⇒ 𝑥 = 8

Bảng biến thiên:

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 65

Từ bảng biến thiên ta thấy, diện tích cần làm nhỏ nhất bằng 576dm = 5,76 m khi 𝑥 =

8dm.

Khi đó, chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể nước theo yêu cầu là:

5,76.400000 = 2304000 đồng.

Chọn SAI.

Câu 10. Một chất điểm chuyển động theo phương trình





3

2

3

6

4

s

t

t

t

t









, trong

đó

0

10,

t

t





tính bằng giây và





s

t

tính bằng mét.

a) Quãng đường chất điểm chuyển động trong





2 s

đầu tiên là





8 m

.

b) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm





3 s

t 

là





15 m / s

.

c) Tại thời điểm mà









22 m

s

t



thì gia tốc tức thời của chất điểm là





2

12 m / s

.

d) Tại thời điểm





2 s

t 

vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

a) Đúng













2

2

2

3

6

6

3

2

1

3

3(

1)

3

0,

v t

s

t

t

t

t

t

t

t





























.

Quãng đường chất điểm chuyển động trong





2 s

đầu tiên là:













2

0

12

4

8

s

s

m









.

b) Đúng









3

15 m / s

v



c) Đúng

Ta có

3

2

3

6

4

22

3

t

t

t

t









 









6

6

a t

v

t

t

















.

2

3

12 m / s

a





d) Sai









2

3

6

6,

0;10

v t

t

t

t









đạt GTNN bằng

3

1

t

 

.

Câu 11. (Liên Trường Nghệ An 2025) Nhân dịp

Tết Trung thu, bác Oanh làm các đèn lồng cho con.

Mỗi đèn bác dùng một sợi dây đồng dài

24dm

cắt

thành 3 đoạn để uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất

bác uốn thành hình vuông

ABCD

có cạnh bằng





x dm

để làm đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng

nhau uốn thành các đường gấp khúc

ASC

và

BSD

.

Khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dạng là một

hình chóp tứ giác đều

S

ABCD



và mặt ngoài của đèn

được dán giấy màu để trang trí ( xem các mối nối, dán là không đáng kể). Khi đó ta có:

a) Độ dài cạnh bên của khung đèn bằng





6

x dm



.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 66

b) Khi





2

x

dm



thì độ dài đường cao của khung đèn là





14 dm

c) Khi tất cả các cạnh bằng nhau thì diện tích giấy màu cần dùng là





2

9 1

3 dm



d) Thể tích phần không gian của đèn lồng lớn nhất khi

2, 79

x

dm



( Kết quả làm tròn đến

hàng phần trăm)

Lời giải

a)Đúng

Theo bài: Đoạn thứ nhất bác uốn thành hình vuông

ABCD

có cạnh bằng





x dm

để làm

đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc

ASC

và

BSD

.

Mà tổng độ dài của dây là:

24dm

và khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dạng là một

hình chóp tứ giác đều

.

S ABCD

nên ta có phương trình:

4

24

4

6

SA

x

SA

x











b)Đúng

Với

2

x 

suy ra

4

2

SA

AO















độ dài đường cao của khung đèn là:

2

2

16

2

14

SO

SA

AO











c)Đúng

+)Gọi cạnh của hình vuông là:

AB

x



.

+) Theo giả thiết tất cả các cạnh bằng nhau nên

SA

x



+)

Độ

dài

của

dây

bằng

24dm

nên

ta

có

phương

trình:

24

4

4

24

4

4

3

SA

AB

x

x

x











 

.

+) Diện tích phần giấy màu cần dùng là tổng diện tích các mặt của hình chóp

.

S ABCD

, vì

chóp tứ diện đều nên các mặt bên bằng nhau nên diện tích cần tìm là:

4

SAB

ABCD

S

S

S





+)

2

2

1

1

1

9

9

3

3

9

2

2

2

4

4

SAB

S

SI

AB

SA

AI

SA





















2

3

9

ABCD

S







.

Vậy





9 3

9

4

9

9

3

9 1

3

4

S 













.

d)Đúng

+) Thể tích phần không gian của đèn lồng chính là thể tích khối chóp

.

S ABCD

+) Gọi cạnh của hình vuông là





x dm

. Theo câu a độ dài cạnh bên là

6

(0

6)

SA

x

x









2

2

2

2

2

2

144

48

2

(6

)

2

2

x

x

x

SO

SA

AO

x



































Thể tích khối chóp

2

2

2

2

1

1

144

48

2

1

144

48

2

3

3

2

6

ABCD

x

x

V

SO S

x

x

x

x



























.

+) Yêu cầu của bài toán là tìm

x

để

V

max.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 67

Đặt





2

2

144

48

2

f

x

x

x

x







với

0

6

x





. Để

V

max khi





2

2

144

48

2

f

x

x

x

x







max









2

2

12

20

48

2 144

48

2

x

x

x

f

x

x

x



























2

0

0

0

10

2 13

20

48

0

10

2 13

x

L

x

f

x

x

L

x

x

x



















































.

Ta có bảng biến thiên của





f

x

.

Căn cứ vào bảng biến thiên





max

f

x

tại

10

2 13

2, 79

x 





.

Câu 12. Một tấm nhôm hình vuông 𝐴𝐵𝐶𝐷 có cạnh bằng 30 cm . Người ta gập tấm

nhôm theo hai cạnh 𝐸𝐹 và 𝐺𝐻 cho đến khi 𝐴𝐷 và 𝐵𝐶 trùng nhau như hình vẽ bên để

được mộthình lăng trụ khuyết hai đáy.

a) Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức 𝑉 = 30𝑆 trong đó 𝑆 là diện tích của tam

giác 𝐴𝐸𝐺.

b) Giá trị của 𝑥 để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là 𝑥 = 10( cm).

c) Diện tích của tam giác 𝐴𝐸𝐺 bằng

√

30 ⋅

(15 − 𝑥)

⋅ (2𝑥 − 15).

d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng 1250 .

Lòi giải

a) Đúng. Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức

30.

AEG

V

h S

S









b) Đúng.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 68

Điều kiện

15

30

15

15

15

15

2

2

x

x

x

x

x

x

x









































.

Theo đề ta có

7, 5

15

x





và tam giác

AEG

cân tại

A

.

Gọi

H

là trung điểm của cạnh

EG

khi đó

AH

EG



và

15

HG

x





.

Khi đó

2

2

2

2

(15

)

AH

AG

HG

x

x











.

Diện tích tam giác

AEG

bằng

S

khi đó





1

1

30

225

30

2

2

2

S

AH EG

x

x















Xét hàm số





30

225

f

x

x





. (

30

2x



) với

7, 5

15

x





có









900

90

,

0

10

30

225

x

f

x

f

x

x

x







 







.

Bảng biến thiên

Suy ra









7,5;15

50 3

max

f

x



khi

10

x 

.

Khi đó





1

1

50 3

25 3

2

2

S

f

x









.

Thể tích lăng trụ

30

30.25 3

750

3

V

S







dấu bằng xảy ra khi

10

x 

.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 69

Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất khi

10 cm

x 

c) Sai. Diện tích tam giác

AEG

bằng

S

khi đó





1

1

30

225

30

2

2

2

S

AH EG

x

x















d) Sai. Thể tích lăng trụ

30

30.25

3

750

3

1299

V

S









dấu bằng xảy ra khi

10

x 

.

Vậy thể tích lăng trụ lớn nhất gần bằng

3

1299 cm

.

Câu 13. Một khu du lịch sinh thái đang khai thác dịch vụ chèo thuyền và ngắm cảnh

ven hồ. Hồ nước có dạng hình tròn tâm 𝑂, bán kính bằng 1 km và tại hai vị trí 𝐴, 𝐵 đối

xứng nhau qua 𝑂 người ta xây dựng nơi bán vé vào và nơi kết thúc thăm quan. Du khách

sẽ được sử dụng dịch vụ chèo thuyền từ vị trí 𝐴 đến vị trí 𝐶 trên bờ hồ và sẽ có xe chở

ngắm cảnh từ vị trí 𝐶 men theo bờ hồ đến nơi kết thúc 𝐵. Biết rằng vận tốc chèo thuyền

là 100 m mỗi phút và vận tốc xe chạy ngắm cảnh là 200 m mỗi phút. Gọi 𝑥 (radian) là số

đo góc 𝐶𝐴𝐵 0 ≤ 𝑥 <

𝜋

2

.

a) Khi 𝑥 = 0 thời gian đi từ 𝐴 đến 𝐵 là 20 phút.

b) Quang đường xe chở người đi ngắm cảnh là 1000𝑥 ( mét).

c) Thời gian đi từ 𝐴 đến 𝐵 là 20cos 𝑥 + 5𝑥 (phút).

d) Thời gian xe đi từ 𝐴 đến 𝐵 luôn ít hơn 22 phút 30 giây với mọi cách chọn từ vị trí điểm

𝐶.

Lời giải

a) Đúng

Khi

0

x 

thì người đó chèo thuyền thẳng từ

A

đến

B

với quang đường

2000

AB

m



nên

thời gian đi từ

A

đến

B

sẽ là

2000

20

100



phút.

b) Đúng

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 70

Quãng đường xe chở người đi ngắm cảnh là độ dài cung

1000

CB

l

x





(mét)

c) Đúng

Quãng đường

AC

dài là

cos

2000cos

AC

AB

x

x







.

Thời gian đi từ

A

đến

C

là

2000cos

20cos

100

x

x



(phút).

Thời gian đi từ

C

đến

B

là

1000

5

200

x

x



(phút).

Thời gian đi từ

A

đến

B

là

20cos

5

x

x



(phút).

d) Sai

Do

0

cos

1

0

20 cos

20

5

0

0

20cos

5

20

5

5

2

2

0

5

0

5

2

2

x

x

x

x

x

x

x

































 



























Hay

0

20cos

5

27,85

x

x







. Vậy với mọi cách chọn vị trí điểm

C

thì thời gian đi từ

A

đến

B

luôn nhỏ hơn 27,85 phút.

Câu 14. Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20-10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà

và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và

không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ

vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và

như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là ℎ và 𝑥.

a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là 𝑉 = 𝑥 ℎ.

b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là 𝑆 = 2𝑥

+ 4𝑥ℎ.

c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là 𝑆

= 2𝑥

+ 4𝑥ℎ.

d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp 𝑥 lớn hơn 4 thì 𝑥 càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng.

Lời giải

a) Thể tích khối hộp chữ nhật 𝑉 = 𝑥. 𝑥. ℎ = 𝑥 ℎ. Mệnh đề đúng.

b) Chiếc hộp có 1 mặt đáy là hình vuông cạnh 𝑥 và có 4 mặt bên là hình chữ nhật kích

thước 𝑥 và ℎ. Vậy diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là: 𝑆

= 𝑥

+ 4𝑥ℎ. Mệnh đề sai.

c) Vì mạ vàng trên mọi điểm của chiếc hộp nên mạ cả mặt trong và mặt ngoài.

Vậy 𝑆

= 2𝑆 = 2

(

𝑥

+ 4𝑥ℎ

)

= 2𝑥

+ 8𝑥ℎ. Mệnh đề sai.

d) Ta có thể tích chiếc hộp: 𝑉 = 𝑥 ℎ = 32 (đvtt), với 𝑥, ℎ > 0. Suy ra ℎ =

.

Phần mạ vàng của chiếc hộp: 𝑆 = 2𝑥

+ 8𝑥ℎ = 2𝑥

+ 8𝑥 ⋅

= 2𝑥

+

.

Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 2𝑥

+

với 𝑥 > 0.

Ta có 𝑓 (𝑥) = 4𝑥 −

=

, 𝑓 (𝑥) = 0 ⇔ 4𝑥

− 256 ⇔ 𝑥 = 4; 𝑓(4) = 96.

BBT

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 71

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy khi x  4 hàm số f x tăng. Vậy lượng vàng được mạ tăng.

Mệnh đề đúng.

Câu 15. Một tấm nhôm hình vuông cạnh 240cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó

bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x(cm), rồi gập tấm nhôm lại như

hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp.

Lời giải

a) Chọn Đúng

Khi đó chiều cao của hộp nhận được là 𝑥, chiều đài của đáy là 240 − 2𝑥. Do đó thể tích

của hộp là

𝑉 = 𝑥(240 − 2𝑥)

b) Chọn Sai

Khi 𝑥 = 20 cm = 0,2 m ⇒ cạnh đáy là 240 − 2.20 = 200 cm = 2 m ⇒ 𝑉 = 0, 2.2

=

0,8 m .

c) Chọn Sai

Có 𝑉 = 𝑥(240 − 2𝑥)

⇒ 𝑉 = 12𝑥

− 1920𝑥 + 57600

𝑉 = 0 ⇔ 𝑥

− 160𝑥 + 4800 = 0 ⇔ 𝑥 = 40, 𝑥 = 120(𝑙)

Ta có BBT

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 72

Từ BBT, có thể tích hộp đạt lớn nhất khi 𝑥 = 40 cm.

d) Chọn Đúng

Từ BBT, thể tích lớn nhất đạt được là 1024000 cm = 1024dm .

Câu 16. Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật thể sau thời

gian t giây được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 5 mét với tốc độ ban đầu

39,2 m/s là ℎ(𝑡) = 5 + 39,2𝑡 − 4,9𝑡 , chọn chiều dương là chiều hướng từ dưới lên (theo

Vật li đại cương, 𝑁𝑋𝐵 Giáo dục Việt Nam, 2016). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Vận tốc của vật sau 3 giây là 4,6 m/s

b) Khoảng thời gian vật ở độ cao trên 10 mét dài hơn 7 giây.

c) Vận tốc của vật lúc chạm đất sấp xi −40,43 m/s.

d) Vật đạt độ cao lớn nhất bằng 83,4 mét tại thời điểm 𝑡 = 4 giây.

Lời giải.

a) Sai.

Ta có: ℎ(𝑡) = 5 + 39,2𝑡 − 4,9𝑡

⇒ 𝑣(𝑡) = 39,2 − 9,8𝑡 nên vận tốc của vật sau 3 giây là

𝑣(3) = 9,8 m/s

b) Đúng.

Vật ở độ cao trên 10 mét: 5 + 39,2𝑡 − 4,9𝑡

≥ 10 ⇔

√

≤ 𝑡 ≤

√

Khoảng thời

gian vật ở độ cao trên 10 mét:

√

−

√

≈ 8,25 > 7

c) Đúng.

Vật chạm đất: ℎ(𝑡) = 5 + 39,2𝑡 − 4,9𝑡

= 0 ⇔

𝑡 =

√

(𝑡/𝑚)

𝑡 =

√

(𝐿)

⇔ 𝑡 =

√

Vận tốc của vật lúc chạm đất: 𝑣

√

= −40,43 m/s

d)

Độ cao (mét) của một vật thể sau thời gian t giây là ℎ(𝑡) = 5 + 39,2𝑡 − 4,9𝑡 , 𝑡 ≥ 0

ℎ (𝑡) = 39,2 − 9,8𝑡

ℎ (𝑡) = 0 ⇔ 𝑡 = 4

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 73

Ta có bảng biến thiên:

Vật đạt độ cao lớn nhất bằng 83,4 mét tại thời điểm 𝑡 = 4 giây.

Câu 17. Trong một phòng thí nghiệm có máy đo nồng độ khí CO cho thấy: nồng độ khí

CO trong phòng thay đổi theo thời gian 𝑡 (tính bằng giờ) và được thể hiện qua hàm số

𝑓(𝑡) = 400 +

(ppm), với 𝑡 ≥ 0 (Khi nói nồng độ khí CO trong không khí là 400

ppm , điều đó có nghĩa là: Trong một triệu phần thể tích của không khí, có 400 phần thể

tích là khí CO ).

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nồng độ khí CO trong phòng tại thời điểm 𝑡 = 0 là 400(ppm).

b) 𝑓 (𝑡) =

(

)

vói 𝑡 ≥ 0.

c) Nghiệm của phương trình 𝑓 (𝑡) = 0 là 𝑡 = 2.

d) Nồng độ khí CO cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị)

là 947 (ppm).

Lời giải

a) Đúng.

Nồng độ khí CO trong phòng tại thời điểm 𝑡 = 0 là 𝑓(0) = 400 +

.

= 400(ppm).

b) Sai.

Ta có 𝑓 (𝑡) =

.

(

)

=

(

)

với 𝑡 ≥ 0.

c) Sai.

Ta có 𝑓 (𝑡) = 0 ⇒ −2000𝑡

+ 10000 = 0 ⇔ 𝑡

= 5 ⇔ 𝑡 =

√

5 (do 𝑡 ≥ 0 ).

Vậy nghiệm của phương trình 𝑓 (𝑡) = 0 là 𝑡 =

√

5.

d) Sai.

Lập bảng biến thiên của hàm số 𝑓(𝑡) trên [0; +∞) ta được

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 74

max

[

;

)

 𝑓(𝑡) = 𝑓(

√

5) ≈ 847(ppm).

Khi đó nồng độ khí CO cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn

vị) là 847 (ppm).

Câu 18. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà

máy thoả thuận rằng, hằng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm

theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Biết rằng, nếu số lượng đặt

hàng là 𝑥 (tấn) sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là 𝑃(𝑥) = 45 − 0,001𝑥 (triệu

đồng) và chi phí để nhà máy A sản xuất được 𝑥 (tấn) sản phẩm trong một tháng là 𝐶(𝑥) =

100 + 30𝑥 (triệu đồng, gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn

sản phẩm).

a) Lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán 𝑥 (tấn) sản phẩm ( 0 ≤ 𝑥 ≤ 100 ) cho nhà

máy B là 𝐻(𝑥) = −0,001𝑥

+ 15𝑥 − 100.

b) Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.

c) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 600 triệu đồng.

d) Nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi

nhuận lớn nhất.

Lời giải

a) Đúng.

Lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán 𝑥 (tấn) sản phẩm (0 ≤ 𝑥 ≤ 100) cho nhà máy

B là:

𝐻(𝑥) = 𝑥 ⋅ 𝑃(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝑥 ⋅

(

45 − 0,001𝑥

)

− (100 + 30𝑥)

= −0,001𝑥

+ 15𝑥 − 100.

b) Đúng.

Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là: 𝐶(10) = 100 +

30.10 = 400 (triệu đồng).

c) Sai.

Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là: 10𝑃(10) = 10 ⋅

(

45 − 0,001 ⋅ 10

)

= 449 (triệu đồng)

d) Đúng.

Xét hàm số 𝐻(𝑥) = −0,001𝑥

+ 15𝑥 − 100 trên [0; 100].

+𝐻 (𝑥) = −0,003𝑥

+ 15

+𝐻 (𝑥) = 0 ⇔ −0,003𝑥

+ 15 = 0 ⇔ 𝑥

= 5000 ⇒ 𝑥 = 50

√

2 ≈ 70,7 ∈ [0; 100]

+

𝐻(0) = −100

𝐻(50

√

2) ≈ 607,11

𝐻(100) = 400

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 75

Vậy nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi

nhuận lớn nhất bằng 607,11 (triệu đồng).

Câu 19. Nhịp tim của một vận động viên chạy sau t giây





0

t 

kể từ khi rời vạch

xuất phát được cho bởi công thức





2

1

300

2

25

2

25

t

t

P t

t











(số nhịp tim/ phút). Biết

rằng, với vận động viên đó bác sĩ đã đưa ra lời khuyên không nên đẩy nhịp tim quá 175

(số nhịp tim/ phút) đề tránh tình trạng quá tải cho tim.

a) Nhịp tim của vận động viên đó không vượt quá

150

2

(số nhịp tim/phút).

b) Trong 2 phút đầu tiên kể từ khi xuất phát, nhịp tim của vận động viên đó vẫn trong

ngưỡng cho phép theo lời khuyên của bác sĩ .

c) Công thức cho biết tốc độ thay đổi nhịp tim theo thời gian

t

là





2

2

3450

2

(

25)

4

50

t

P t

t

t

t















d) Tốc độ thay đổi nhịp tịm của vận động viên đó tại thời điểm 1,5 phút sau khi xuất phát

bằng 2,63 lần ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) tốc độ thay đổi nhịp tim tại thời

điểm 0,5 phút sau khi xuất phát.

Lời giải

a) Đúng

Ta có: 𝑃(𝑡) =

(số nhịp tim/ phút)





























2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

300

25

300

2

25

2

1

2

2

25

2

(

25)

150

2

25

150

600

7500

1

(

25)

2

25

2

150

4050

7500

150

600

7500

3450

2

2

(

25)

4

50

(

25)

4

50

t

t

t

t

t

t

P t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

























































































Xét hàm số trên [0; 60] thấy Max

[

;

]

𝑓(𝑡) < 150

√

2 . Chọn Đúng

b)Sai.

c. Đúng.

d)Sai.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 76

Tốc độ thay đổi nhịp tỉm của vận động viên đó tại thời điểm 1,5 phút sau khi xuất phát là

𝑃 (90) =

3450

√

2 ⋅ 90

(90 + 25)

⋅

√

90 + 4.90 + 50

=

108

√

4255

19573

Tốc độ thay đổi nhịp tìm của vận động viên đó tại thời điểm 0,5 phút sau khi xuất phát là

𝑃 (30) =

3450

√

2 ⋅ 30

(30 + 25)

⋅

√

30 + 4.30 + 50

=

828

√

535

12947

Vi

√

√

=

√

≈ 0,2433 nên tốc độ thay đổi nhịp tim của vận động viên đó tại

thời điểm 1,5 phút sau khi xuất phát bằng xấp xi 0,243 lần tốc độ thay đổi nhịp tim tại thời

điểm 0,5 phút sau khi xuất phát.

Phần B. Tự luận

Bài 1. Tốc độ thay đổi nhiệt độ là

'( )

T t

, khảo sát hàm số

'( )

T t

trên khoảng

(0;

)



, ta tính tốc độ thay đổi của nhiệt độ lớn nhất của cơ thể người đó.

Bài 2. Tương tự bài 1, xét hàm số

'( )

f

t

trên

[0;

)



và tìm GTLN.

Bài 3. Giả sử bán máy lọc nước với giá

8

0,1x



triệu đồng.

Với giá bán trên thì số máy lọc nước bán được là

900

10x



cái.

Từ đó, ta có hàm doanh thu là





( )

8

0,1

(900

10 ).

D x

x

x







Hàm chi phí

9

( )

2000

(900

10 )

380

18

5

C x

x

x











.

Từ đó, ta có hàm lợi nhuận

2

( )

8

6820.

L x

x

x

 





Khảo sát hàm số L(x) trên khoảng (0;80), ta được lợi nhuận max 6836 triệu khi x=4.

Bài 4. Số lượng cá ban đầu là 800 con nên P(0) = 800 (1)

Sau 3 năm, số lượng cá là 6000 con nên P(3) = 6000 (2)

Vì sức chứa tối đa của hồ là 8000 con cá nên

lim ( )

8000

x

P x





(3)

Giải hệ phương trình gồm (1),(2),(3) ta tìm được

9

3

8000

a

b

c





























Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 77

Khi đó

2

8000

8000

( )

1

9.3

1

3

t

t

P t













Từ đó, tính được

2

2

8000 ln 3

'( )

.

1

2

3

3

t

t

P t







 

Đến đây, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương

2

2

1

, 3

3

t

t





ta được

2

2

2

2

1

1

3

2

3

.

2

3

3

t

t

t

t















.

Vậy

8000 ln 3

'( )

2000 ln 3

2197.

4

P t







Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

2

2

1

3

2.

3

t

t

t







 

Vậy tốc độ tăng trưởng tối đa của đàn cá là khoảng 2197 con/năm vào năm thứ 2.

Bài 5. Ta có hàm lợi nhuận





3

3

2

( )

220

3

20

500

3

240

500.

L x

x

x

x

x

x

x

x











 







Xét hàm số

( )

L x

trên đoạn [1;18] ta kết luận.

Vậy hộ làm nghề dệt này thu được lợi nhuận tối đa trong một ngày là 1200 nghìn đồng khi

sản xuất 10 mét vài lụa trong một ngày.

Bài 6. Xét hàm lợi nhuận

( )

( )

( )

L x

xP x

C x





và tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên

[0;100].

Bài 7. Xét hàm lợi nhuận

( )

( )

( )

L x

xp x

xc x





và tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên





0;

.



Bài 8. Xét hàm lợi nhuận

( )

.

( )

( )

10%.

.

( )

L x

x P x

C x

x P x







và tìm giá trị lớn nhất

của hàm số trên [0;100].

Bài 9. Xét hàm lợi nhuận

( )

( )

( )

L x

F x

xG x





, từ đó giải bất phương trình

( )

100

L x



để tìm số lượng sản phẩm

.

x

Bài 10. Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là

( )

( )

( )

L x

f

x

g x

tx







Xét hàm

2

( )

2

(560

)

50

L x

x

t x

 







với

0

2000

x





Lập BBT và tìm giá trị lớn nhất của hàm

( )

L x

.

Từ bảng biến thiên, ta thấy lợi nhuận lớn nhất doanh nghiệp thu được tại

560

.

4

t

x





Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 78

Khi đó số tiền thuế là

560

( )

.

4

t

k t

t





với 0<t<300.

Tiếp tục lập BBT và tìm giá trị lớn nhất của

( )

k t

, ta được tại t=280 từ đó suy ra số sản

phẩm bán được và lợi nhuận cao nhất của doanh nghiệp.

Bài 11. Lợi nhuận hằng năm

2

2

(

)

(

)

(

)

0,162

27, 65

12

L x

R x

C x

x

x





 





(tỷ

đồng/năm).

Tỷ

lệ

lợi

nhuận

hàng

năm

trên

chi

phí

đầu

tư

ban

đầu

được

tính

bởi

hàm

số:

2

1

( )

0,162

27, 65

12

( )

.

( )

1400

55

L x

x

x

T x

C x

x













Lập BBT ta thấy T(x) đạt GTLN khi

46

x 

Bài 12. Gọi

*

,

x x  

là số lần tăng giá thuê thêm 100 nghìn đồng.

Khi đó, số căn hộ cho thuê là

100

x



căn.

Doanh

thu

một

tháng

khi

tăng

giá

là

2

( )

(8000

100 )(100

)

100(

20

80)

D x

x

x

x

x















(nghìn đồng).

Lập bảng biến thiên khảo sát hàm số

( )

D x

trên

(0;100)

ta được doanh thu lớn nhất khi

10

x 

, tức là người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là

8

0,1.10

9





(triệu đồng)

thì doanh thu cao nhất.

Bài 13. Gọi

*

,

x x  

là số lần tăng giá thuê thêm 200 nghìn đồng.

Khi đó, số căn hộ cho thuê là

20

x



căn.

Doanh thu một tháng khi tăng giá là

( )

(2000

200 )(20

)

D x

x

x







(nghìn đồng).

Lập bảng biến thiên, khảo sát hàm số

( )

D x

trên

(0;

)



ta thấy hàm số D(x) đạt giá trị

lớn nhất bằng 45 000 khi x = 5.

Khi đó, số tiền tăng lên khi cho thuê một căn hộ là 200.5 = 1 000 nghìn đồng= 1 triệu đồng.

Vậy công ty nên cho thuê mỗi căn hộ 3 triệu đồng/1 tháng thì số tiền thu được là lớn nhất.

Bài 14. Gọi

x

là số điện thoại trong mỗi lô vận chuyển sao cho chi phí vận chuyển là

thấp nhất





*

,1

600 .

x

x









Số đợt vận chuyển trong năm 2025 là

600

x

(lần).

Khi đó, chi phí vận chuyển là

600

3000

( )

50.

3

3

T x

x

x

x

x









.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 79

Xét hàm số

( )

T x

trên đoạn [1;600] và tìm

x

để

( )

T x

nhỏ nhất.

Ta tìm được

[0;600]

min

( )

600

T x



khi

100.

x 

Vậy chi phí vận chuyển đạt giá trị nhỏ nhất là 600 USD khi cửa hàng đó nhập mỗi lô 100

chiếc điện thoại.

Bài 15. Gọi

x

là số lần giá bán tăng thêm 1000 đồng/kg.

Giá bán rau là 30000 + 1000𝑥 đồng/kg.

Số rau thừa là 20𝑥 kg (do mỗi lần tăng giá, số rau thừa tăng thêm 20 kg).

Số rau bán hết là 1000

− 20

𝑥 kg (do mỗi lần tăng giá, số rau bán hết giảm 20 kg).

Doanh

thu

từ

rau

bán

hết

với

giá

30000

+

1000𝑥

đồng/kg

là

1

( )

(1000

20 )(30000

1000 )

D x

x

x







Doanh thu từ rau thừa bán làm thức ăn gia súc là

2

( )

20 .2000

40000

D x

x

x





.

Khi đó, ta có hàm tổng doanh thu

2

1

2

(

)

( )

(

)

30000000

440000

20000

D x

D x

D x

x











Lập bảng biến thiên khảo sát hàm

( )

D x

trên khoảng

(0;

)



ta có số tiền bán rau nhiều

nhất mà trang tại có thể thu được mỗi ngày là 32420000 đồng.

Bài 16. Gọi

x

là số máy móc công ty để sản xuất.

Thời gian cần để sản xuất hết

8000

quả bóng là

8000

30x

(giờ).

Tổng chi phí để sản xuất là

8000

51200

( )

200

.192

200

30

P x

x

x

x

x









Vẽ bảng biến thiên khảo sát hàm

( )

P x

trên

(0;

)



ta có

(0;

)

min

( )

6400

P x





khi

16.

x 

Vậy công ty nên sử dụng 16 máy để chi phí hoạt động là thấp nhất.

Bài 17. Giả sử giá bán mỗi cái điện thoại là

14

0, 5y



Số điện thoại bán được là

1000

100y



.

Khi đó daonh thu là

(14

0, 5 )(1000

100 )

y

y





Ta có hàm lợi nhuận





2

( )

14

0, 5

(1000

100 )

1200

3(1000

100 )

5

1200

5000, 0

28.

L x

y

y

y

y

y

y

























 









Lập BBT hàm số

( )

L x

ta có

max

( )

12200

L y



(triệu) khi

12.

y 

Bài 18. Ta có hàm lợi nhuận

2

*

1

( )

(40

) , 0

16,

2

L x

x

x

x

x









 

.

Lập bảng biến thiên hàm L(x), ta được

(0;16]

max

( )

4738, 5

L x



(nghìn đồng).

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 80

Bài 19. Tương tự bài 12,13 (HS tự giải)

Bài 20. Tương tự bài 15 (HS tự giải).

Bài 21. Tương tự bài 16 (HS tự giải).

Bài 22. Chỉ tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

( )

C x

trên

[1;

).



Bài 23. Hàm lợi nhuận

( )

30

(55000

22 )

L x

x

x







.

Khi đó, ta tìm

x

nguyên và thuộc đoạn [5000;25 000] sao cho

( )

135000

L x



.

Tức là

47500

30

55000

22

135000

15834

3

x

x

x

x







 

 

Vậy trung bình mỗi ngày nhà hàng phải phục vụ ít nhất

158834

530

300



phần ăn để đạt

mục tiêu trên?

Bài 24. Tương tự bài 12, 13 (HS tự giải).

Bài 25. Tương tự bài 14 (HS tự giải).

Bài 26. Gọi

x

là số tiền mà của hàng dự định giảm giá

0

5

x





Ta có hàm lợi nhuận

2

( )

(35

30)(12000

4000 )

400

8000

60000

L x

x

x

x

x



 



 





Xét hàm số

( )

L x

trên [1;5], ta được

1

x 

là giá trị cần tìm.

Vậy của hàng bán với giá mới là 34 nghìn đồng/kg thì lợi nhuận thu được cao nhất.

Bài 27. Giả sử cần nhập trái cây đủ n ngày để chi phí trung bình cho mỗi ngày thấp nhất

*

,

10.

n

n







Mỗi ngày phải phân phối đi 25 tạ trái cây nên tổng số trái cây trong một lần nhập là 25n

(tạ).

Chi phí bảo quản ngày đầu là: 25n.0,08 (triệu đồng).

Chi phí bảo quản ngày thứ hai là: 25(n – 1).0,08 (triệu đồng).

Chi phí bảo quản ngày thứ ba là: 25(n – 2).0,08 (triệu đồng).

Chi phí bảo quản ngày cuối cùng là: 25.0,08 (triệu đồng) (vì chỉ còn 25 tạ cho ngày cuối

cùng).

Tổng chi phí bảo quản là:

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 81

25 .0, 08

25(

1).0, 08

25(

2).0, 08

...

25.0, 08

2

(

1)

(

2)

...

1

P

n

n

n

n

n

n









































Ta có thể viết

2.(1

2

3

..

).

P

n



   

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu

của cấp số cộng, ta được:

(

1)

2.

2

n n

P





.

Tổng chi phí (gồm phí vận chuyển và bảo quản) là

25

(

1)

n n





(triệu đồng).

Chi phí trung bình là

25

(

1)

25

(

)

1.

n n

Q n

n

n

n









 

Xét hàm số

(

)

Q n

trên đoạn [1;10]

Vậy, để chi phí trung bình nhỏ nhất thì đại lý cần nhập đủ trái cây cho 5 ngày.

Bài 28. Gọi x, x>0 (km) là vận tốc của tàu, khi đó thời gian tàu chạy quãng đường 1 km

là

1

x

(giờ).

Chi phí nhiêu liẹu cho phần thứ nhất là

1

1

480

( )

.480

c

x

x

x





(nghìn đồng)

Hàm chi phí cho phần hai là

3

2

(

)

c

x

kx



(nghìn đồng/giờ).

Theo đề bài,

2

(20)

100

0, 0125

c

k



 

.

Vậy tổng chi phí là

3

1

2

480

( )

( )

( )

0, 0125

c x

c

x

c

x

x

x









Xét hàm c(x) trên

(0;

)



và tìm giá trị của x để c(x) nhỏ nhất.

Bài 29. Ta có hàm lợi nhuận

(

)

20 (

)

10 (

)

10000

2026 ln(1

)

.

L A

q A

q A

A

A

A



























Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 82

Tìm max của

(

)

L A

với

0.

A 

Bài 30. Chi phí trung bình là

(

)

'(

)

( )

C x

T x

T x



Xét hàm

'( )

T x

với x>0 và tìm min T’(x).

Bài 31. Ta có

2

'

3

18

1

v

S

t

t



 





, tìm t để v max.

Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

'( )

v

s

t



trên [0;9].

Bài 34.

3

3

10

.

x

dm



Bài 35. Thể tích khối hộp là

2

( )

(0, 9

2 )

V x

x

x





Bài 36. 5,4 triệu đồng.

Bài 37.

Bài 38.

Xét tam giác

AMI

như hình vẽ đặt

0,

30

3

x

AM

x

AMI

MI















Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy

2 , 0

2

a

a

x

x







và chiều cao

3

x

nên có thể tích

là

2

2

2

3

(

2 ) .

3

4

4

( )

.

4

4

3

a

x

x

a x

ax

x

V x











Ta tìm

0;

2

a

x



























để

( )

V x

lớn nhất.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 83

Lập bảng biến thiên ta tìm được thể tích V lớn nhất khi

.

6

a

x 

Bài 39. ĐS: 9420.

Bài 40.

Đặt

, 0

4.

AM

x

x







Ta có

4

2 .

ME

x

 

2

2

2

2

2

(4

2 )

2(2

)

2(2

)

MQ

x

MQ

x

MQ

x

















Gọi S là tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ.

Khi đó

2

2

2

2

2

4.

(4

2 )

(

2)

2

MQ

S

PQ

x

x











Lập bảng biến thiên hàm số S(x), ta tìm được

16

( )

3

MaxS x



Bài 41.

3 2

.

x

m



Một số bài tập VDC

Bài 1. Một bác nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài

a

(m) và muốn rào

một mảnh vườn dọc bờ sông có dạng hình thang cân

ABCD

như hình bên dưới (bờ sông

là đường thẳng

CD

không phải rào). Hỏi bác đó có thể rào được mảnh vườn có diện tích

lớn nhất là bao nhiêu mét vuông?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 84

Bài 2. Cho hình chữ nhật

ABCD

nội tiếp nửa

đường tròn tâm

O

, bán kính

10

R 

(cạnh

AB

của

hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của đường tròn

mà hình chữ nhật đó nội tiếp). Tìm diện tích lớn nhất

của hình chữ nhật

.

ABCD

Bài 3. Người ta cần rào một mảnh đất hình chữ nhật

ABCD

có diện tích là 600

2

m

. Trên mảnh đất này, người

ta chia làm ba miếng đất hình chữ nhật có diện tích bằng nhau

(hình vẽ). Giá tiền để xây dựng hàng rào bên trong và bao bên

ngoài là 60.000 đồng mỗi mét, biết rằng chiều dài hình chữ

nhật

ABCD

không vượt quá 60 m. Tìm chiều dài và chiều

rộng của hình chữ nhật

ABCD

sao cho chi phí xây dựng

hàng rào là thấp nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bài 4. Ông Dũng định làm một máng thoát nước mưa từ một miếng tôn hình chữ nhật

có chiều dài 2 m và chiều rộng 90 cm. Ông Dũng chia chiều rộng của miếng tôn thành 3

phần bằng nhau, mỗi phần dài 30 cm, rồi gập hai bên lên một góc





0

90













như

hình vẽ dưới đây:

Mặt cắt ngang của máng là hình thang cân

ABCD

có đáy lớn

AD

, đáy nhỏ

BC

và

30

AB

BC

CD







cm (minh hoạ hình bên trên). Tìm số đo góc



(đơn vị: độ) để

diện tích mặt cắt ngang của máng nước lớn nhất.

Bài 5. Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A

trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến

bờ biển là BH = 6 km (hình vẽ). Giá tiền để xây dựng đường ống

trên bờ là 50.000 USD mỗi kilomet và giá tiền xây dựng đường

ống trên biển là 130.000 USD mỗi kilomet, biết rằng AH = 9 km.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 85

Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi

phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

Bài 6. Có hai xã cùng ở một bên bờ sông Lam.

Người ta đo được khoảng cách từ trung tâm A, B của hai

xã đó đến bờ sông lần lượt là AA′ = 500 m, BB′ = 600 m

và A′B′ = 2200 m (Hình bên). Các kĩ sư muốn xây một

trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông Lam cho người

dân hai xã. Để tiết kiệm chi phí, các kĩ sư cần phải chọn

vị trí M của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn A′B′

sao cho tổng khoảng cách từ hai vị trí A, B đến vị trí M là

nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách

đó.

Bài 7. Trong một tiết học Toán, giáo viên phát cho 4 tổ một tấm bìa hình vuông

ABCD cạnh bằng 10 cm. Giáo viên yêu cầu 4 tổ sử dụng tấm bìa này và cắt tấm bìa theo

các tam giác cân AEB, BF C, CGD, DHA để sau đó gấp các tam giác AEH, BEF, CFG,

DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều (tham khảo

hình vẽ bên dưới). Khi đó thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng là

3

(

)

a b

cm

c

với a, b, c là các số nguyên dương. Tính P = a + b + c.

Bài 8. Cho hai vị trí A, B cách nhau 615 m và cùng nằm về một phía bờ sông, giả sử

bờ sông có dạng thẳng; khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 m và 487 m

như hình vẽ sau

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 86

Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Quãng đường ngắn nhất (tính theo

đơn vị mét) mà người đó có thể đi là bao nhiêu?

Bài 9. Một thanh dầm hình hộp chữ nhật

được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có bán kính

đáy bằng 20 cm sao cho thanh dầm có diện

tích mặt cắt ngang lớn nhất, tức là thanh dầm

có mặt cắt ngang là hình vuông. Sau khi cắt

thanh dầm đó, người ta lại cắt bốn tấm ván

hình hộp chữ nhật từ bốn phần còn lại của

khúc gỗ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Xác

định diện tích mặt cắt ngang tối đa của mỗi tấm ván (theo đơn vị

2

cm

và làm tròn kết quả

đến hàng phần chục).

Bài 10. Bạn An đang đứng trên bờ một con sông rộng 1 km và muốn đến một thị trấn

ở phía bên kia bờ, cách 2 km xuôi dòng. Bạn An dự định chèo thuyền theo một đường

thẳng đến một điểm P trên bờ đối diện (tham khảo hình vẽ) và sau đó đi bộ quãng đường

còn lại dọc theo bờ. Biết bạn An chèo thuyền với vận tốc 4 km/giờ và đi bộ với vận tốc

5km/giờ. Gọi

0

x

(km) là khoảng cách từ A đến P trong trường hợp thời gian bạn An đến

thị trấn là ngắn nhất. Giá trị của

0

3x

bằng bao nhiêu?

Bài 11.

Một cái ao nuôi cá hình chữ nhật của nhà ông An có chiều

dài 20m và chiều rộng 15m , tại một góc nhỏ của ao ông An đóng một

cái cọc ở vị trí K cách bờ AB là 1m và cách bờ AC là 8 m, rồi dùng một

dây phao căng thẳng ngăn một góc nhỏ của ao để làm nơi cho cá ăn

(phần in đậm như hình vẽ) sao cho dây phao có thể đồng thời chạm vào

hai bờ AB, AC và vào cái cọc K . Biết mỗi mét dây phao ông An cần

mua có giá 130 nghìn đồng. Hỏi ông An phải bỏ ra ít nhất bao nhiêu

nghìn đồng để mua dây phao đó (bỏ

qua đường kính của dây phao và cái cọc, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 87

Bài 12. Một cái cổng trường có hình dạng parabol cao 10 m và rộng 6m. Người ta

muốn đặt một khung hình chữ nhật để thiết kế trang trí, có hai đỉnh nằm trên vòm cổng và

hai đỉnh còn lại nằm dưới mặt đất. Khung hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất bằng bao

nhiêu mét vuông để có thể đặt vào cổng trường (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Bài 13. Khi dạo chơi trên một công viên bạn Đoàn di chuyển trên cung đường có

dạng hình Parabol, bạn Kết di chuyển trên cung đường có dạng đường tròn (xem hình

minh họa). Khoảng cách giữa đỉnh A của Parabol và tiếp điểm B của đường tròn là 16 m,

HK⊥AB và AH = 6m ,HK = 9m

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn Đoàn và Kết bằng bao nhiêu mét, biết rằng đường

tròn có bán kính bằng 3m ? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bài 14. Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm có chiều

ngang 100 mét, một bên cao 80 mét và một bên cao 40 mét. Một cây cầu sẽ được xây

dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như

hình vẽ dưới đây

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 88

Con đường xuyên qua hẻm núi chia thành hai đoạn thẳng AB và BC như hình vẽ trên.

Cột đỡ dọc MN là đoạn nối giữa khung của Parabol và đường xuyên qua hẻm núi. Độ dài

lớn nhất của MN là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục).

Bài 15. Hình vẽ sau mô tả một đường cong Agnesi và được xây dựng trong hệ tọa

độ

Oxy

như sau: vẽ một đường tròn có tâm

(0;1)

I

và bán kính bằng 1, từ điểm

O

kẻ một

đường thẳng cắt đường tròn tại điểm thứ hai là

điểm

B

và cắt đường thẳng

2

y 

tại điểm

A

. Gọi

P

là giao điểm của đường thẳng qua

A

vuông góc với

Ox

và đường thẳng qua

B

vuông góc với

Oy

. Tập hợp các điểm

P

tạo

thành một đường cong

( )

y

f

x



gọi là đường

cong Agnesi. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

( )

y

f

x



có hệ số góc lớn nhất bằng bao

nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 16. Cấu trúc tổ ong là một cấu trúc đặc biệt, mỗi lỗ ong là một lăng kính hình

lục giác, một đầu hở còn một đầu tạo thành một góc tam diện. Ong đã xây các lỗ này với

một cách làm tối ưu về diện tích bề mặt (đã sử dụng lượng sát ong ít nhất để xây tổ).

Người ta đã quan sát, nghiên cứu thì thấy rằng góc



(rad) ở đỉnh nhất quán một cách

đáng kinh ngạc, dựa trên cấu trúc hình học của lỗ ong người ta chứng minh được diện

tích bề mặt

S

của lỗ ong là

2

3

3

1

6 .

.

2

sin

S

s h

s







(

s

là chiều dài các cạnh của lỗ

ong,

h

là chiều cao,

s

và

h

đều là hằng số). Vậy để tối thiểu hóa diện tích bề mặt, con

ong đã xây một góc



bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng trăm).

Bài 17. Chủ một nhà hàng muốn làm tường rào bao quanh 600

2

m

đất để làm bãi đỗ

xe. Ba cạnh của khu đất được rào bằng thép với chi phí 14 000 đồng một mét, mặt thứ tư

tiếp giáp với mặt bên của nhà hàng nên được xây bằng gạch xi măng với chi phí 28 000

đồng mỗi mét.

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 89

Tìm chu vi khu đất sao cho chi phí nguyên liệu bỏ ra là ít nhất, biết rằng khu đất rào được

có dạng hình chữ nhật.

Bài 18. Một công viên hình chữ nhật

ABCD

có kích thước 20m x 25 m có hai vị

trí

,

M N

cố định lần lượt thuộc cạnh

AB

và

BC

sao cho

10

BM

BN

m





Trên cạnh

CD

và

AD

người ta xác định hai điểm

,

P Q

để xây dựng sân chơi

MNPQ

sao cho

MNPQ

là hình thang có

MN

song song với

PQ

. Diện tích lớn nhất của sân

chơi là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 19. Cho một tấm tôn hình một tam giác đều có cạnh bằng 2 m. Người ta thiết

kế một hình lục giác đều và sáu hình chữ nhật ở phía ngoài lục giác có một cạnh bằng

cạnh của lục giác, một cạnh bằng

x

(mét) với

2

0

3

x





. Sau đó người ta cắt theo nét

đứt đoạn để thu được một hình hợp bởi một lục giác đều và sáu hình chữ nhật. Sau đó gấp

các hình chữ nhật để tạo thành khối lăng trụ lục giác đều (tham khảo hình vẽ dưới đây).

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 90

Thể tích của khối lăng trụ lớn nhất bằng bao nhiêu

3

dm

(làm tròn kết quả đến hàng phần

mười)?

Bài 20. Người ta cần cắt

cần cắt một tấm

tôn có hình dạng là một elip với độ dài trục

lớn bằng 8, độ dài trục bé bằng 4 để được một

tấm tôn hình chữ nhật nội tiếp elip. Người ta

gò tấm tôn hình chữ nhật thu được một hình

trụ không có đáy (như hình bên). Tính thể

tích lớn nhất có thể thu được của khối trụ đó.

Bài 21. Theo thống kê tại một nhà máy Z, nếu áp dụng tuần làm việc 40 giờ thì mỗi

tuần có 100 công nhân đi làm và mỗi công nhân làm được 120 sản phẩm trong một giờ.

Nếu tăng thời gian làm việc thêm 2 giờ mỗi tuần thì sẽ có 1 công nhân nghỉ việc và năng

suất lao động giảm 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra, số phế phẩm mỗi tuần ước

tính là

2

95

120

( )

4

x

x

P x





, với

x

là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy cần

áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần mấy giờ để số lượng sản phẩm thu được mỗi tuần là

lớn nhất?

Bài 22. Một ông chủ nhà muốn làm một cái

thang cứu hộ khi có nguy hiểm xảy ra. Ông ta muốn

làm cái thang để nó đứng dưới đất vươn qua hàng rào

tựa vào ngôi nhà. Với hàng rào cao 2,4 mét được đặt

song song và cách bức tường của ngôi nhà một

khoảng bằng 1,5 mét. Chiều dàin ngắn nhất của cây

thang bao nhiêu mét để nó đứng dưới đất vươn qua

hàng rào tựa vào ngôi nhà (làm tròn đến chữ số thập

phân thứ hai).

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 91

Bài 23. Một bờ hồ hình bán nguyệt có bán kính bằng 2 km, đường kính

AB

(tham

khảo hình vẽ). Từ điểm

A

anh Tài chèo một chiếc thuyền với vận tốc 3 km/h đến điểm

C

trên hồ, rồi chạy dọc theo thành hồ đến vị trí

B

với vận tốc 6km/h (

C

không trùng

với

A

và

B

)

Thời gian ngắn nhất mà anh Tài di chuyển từ

A

đến

B

là bao nhiêu (thời gian tính bằng

giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Bài 24. Cho hình chữ nhật

ABCD

có hai điểm nằm trên

đồ thị hàm số

2

1

4

y

x



và hai điểm còn lại nằm trên đồ thị

hàm số

2

5

y

x

 

trên khoảng

(

2;2)



như hình vẽ bên.

Hình chữ nhật đó có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu? (làm

tròn kết quả đến hàng phần mười).

Bài 25. Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiều rộng 8 cm. Gấp

góc bên phải của tờ giấy sao cho khi gấp đỉnh của góc đó chạm đáy như hình vẽ. Độ dài

nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 92

Bài 26. Trong công viên, có một hồ nước hình bản

nguyệt đường kinh AB bằng 100 (m). Tại A và B người ta

dựng hai bức tượng lần lượt cao 8 m và 10 m. Một người

đứng trên phần cung tròn của bờ hồ muốn đặt máy ảnh cao

1,6 m để chụp toàn cảnh hai bức tượng. Gọi góc quan sát

là góc tạo bởi hai tia nổi vị trí đặt máy ảnh với hai đình của

các bức tượng. Khi người đó di chuyển trên phần cung tròn

của bờ hồ thì góc quan sát lớn nhất bằng bao nhiêu độ?

(làm tròn hàng đơn vị).

Bài 27. Một tấm bìa cứng có kích thước 60 cm x 90 cm được gấp đôi thành một hình chữ

nhật 60 cm x 45 cm như hình vẽ. Sau đó, cắt ra từ các góc của hình chữ nhật vừa gấp bốn

hình vuông bằng nhau có cạnh

x

(cm). Tấm bìa được mở ra và sáu mép được gấp lên để

tạo thành một hộp chữ nhật

(

)

H

có nắp và đáy (như hình vẽ). Thể tích lớn nhất của khối

(

)

H

bằng bao nhiêu lít? Làm tròn đến hàng phần mười.

Bài

28.

Trong

mặt

phẳng,

cho

tam

giác

ABC

cân

tại

A

;

1000;

AB

BAC









thỏa mãn

3

tan

.

4

  

Điểm

G

là trọng tâm của tam giác

ABC

. Hai điểm

I

và

J

di động sao cho đường thẳng

AB

tiếp xúc với đường tròn tâm

I

bán kính bằng 100 tại điểm

M

thuộc đoạn

AB

, đường thẳng

AC

tiếp xúc với đường

tròn tâm

J

bán kính bằng 180 tại điểm

N

thuộc đoạn

AC

, khoảng cách giữa hai điểm

I

và

J

bằng 700, hai điểm

I

và

G

nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng

AB

, hai

điểm

J

và

G

nằm ở hai phía khác nhau của đường thẳng

.

AC

Khoảng cách từ điểm

A

đến đường thẳng

IJ

đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tài liệu Toán 12 Sưu tầm và biên soạn: Ngô Đức Tài – SĐT 089 971 004

Tuyển tập toán thực tế max min hàm số 12

Trang 93