PHẦN E. CÂU HỎI TRẢ LỜI NGẮN

Câu h

ỏ

i

Câu 1.

Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để

  

m

x

y

với mọi cặp số

(

;

)

x y

thoả mãn hệ bất

phương trình sau:

2

2

2

4

5

0

x

y

x

y

x

y

y

































Trả lời: ………………………..

Câu 2.

Cho hệ bất phương trình:





5

2

2

3.

x

y

x

y

II

y





















. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để bất phương

trình

2

5

0







x

y

m

nghiệm đúng với mọi cặp số

(

;

)

x y

thoả mãn hệ bất phương trình (II).

Trả lời: ………………………..

Câu 3.

Trong một cuộc thi pha chế đồ uống gồm hai loại là

A

và

B

, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa

24 g

hương liệu, 9 cốc nước lọc và

210 g

đường. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại

A

cần 1 cốc nước lọc,

30 g

đường và

1 g

hương liệu. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại

B

cần 1 cốc nước lọc,

10 g

đường và

4 g

hương liệu. Mỗi cốc đồ uống loại

A

nhận được 6 điểm thương, mỗi cốc đồ uống loại

B

nhận được 8

điểm thưởng. Để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế bao nhiêu cốc đồ uống mỗi

loại?

Trả lời: ………………………..

Câu 4.

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki-

lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị

protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là

1,6 kg

thịt bò và

1,1 kg

thịt lợn;

giá

1 kg

thịt bò là 200000 đồng,

1 kg

thịt lợn là 160000 đồng. Hỏi gia đình đó cần mua bao nhiêu ki-lô-

gam thịt mỗi loại để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất?

Trả lời: ………………………..

Câu 5.

Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và

bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng,... Xí

nghiệp đã nhập về

600 kg

bột mì và

240 kg

đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà

xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần

120 g

bột mì,

60 g

đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần

160 g

bột

mì và

40 g

đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh

nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng,

mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng, Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xí nghiệp để đáp ứng nhu cầu thị

trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được

lợi nhuận cao nhất.

Trả lời: ………………………..

Câu 6.

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:

- Mỗi kg sản phẩm loại I cần

2 kg

nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn.

- Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lời được 30 nghìn. Xưởng có 200

kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc tối đa. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu đề có mức

lời cao nhất?

Trả lời: ………………………..

Câu 7.

Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha,

nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu

đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu

ha

để thu được nhiều tiền nhất,

biết rằng tổng số công không quá 180 .

Trả lời: ………………………..

Câu 8.

Có ba nhóm máy

,

,

X Y Z

dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một

đơn vị sản phẩm mỗi loại lần lượt phải dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong

một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại

được dùng cho trong bảng sau:

Nhóm

Số máy trong mỗi

nhóm

Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra

một đơn vị

Loại I

Loại II

X

10

2

2

Y

4

0

2

Z

12

2

4

Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Hãy

lập kế hoạch sản xuất đề cho tổng số tiền lãi thu được là cao nhất.

Trả lời: ………………………..

Câu 9.

Tìm GTLN của





,

2

f

x y

x

y





với điều kiện

















1

2

3

4

0

4

0

1

0

2

10

0

y

d

x

d

x

y

d

x

y

d

















 













Trả lời: ………………………..

Câu 10. Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 hecta (ha).

Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì

cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu ha cho mỗi loại cây

để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho

việc trồng ngô và đậu xanh.

Trả lời: ………………………..

Câu 11. Cho hệ bất phương trình:

4

0

0

0

2

0































x

y

x

y

x

y

. Miền nghiệm của hệ tạo thành là hình gì?

Trả lời: ………………………..

Câu 12. Cho biểu thức

3

2

4







T

x

y

với

x

và

y

thỏa mãn hệ bất phương trình:

1

0

4

9

0

2

3

0



 























x

y

x

y

x

y

.

Biết

T

đạt giá trị nhỏ nhất khi

0



x

x

và

0



y

y

. Tính

2

2

0

0



x

y

.

Trả lời:………………………..

Câu 13. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Prôtêin và 400 đơn vị lipít trong thức ăn mỗi ngày.

Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị

prôtêin và 400 đơn vị Lipít. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất

1,6 kg

thịt bò và

1,1 kg

thịt

lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là

250.000

đồng, giá tiền mỗi kg thịt lợn là

85.000

đồng. Hỏi chi phí ít

nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu?

Trả lời: ………………………..

Câu 14. Một công ty

X

có 2 phân xưởng

,

A B

cùng sản xuất 2 loại sản phẩm

,

M N

. Số đơn vị

sản phẩm các loại được sản xuất ra và chi phí mỗi giờ hoạt động của

,

A B

như sau:

Phân xưởng 1

Phân xưởng 2

Sản phẩm

M

250

250

Sản phâm

N

100

200

Chi phí

600.000

1.000.000

Công ty nhận được yêu cầu đặt hàng là 5000 đơn vị sản phẩm

M

và 3000 đơn vị sản phẩm

N

.

Công ty đã tìm được cách phân phối thời gian cho mỗi phân xưởng hoạt động thỏa mãn yêu cầu

đơn đặt hàng và chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………………..

Câu 15. Một người dùng ba loại nguyên liệu

,

,

A B C

để sản xuất ra hai loại sản phẩm

P

và

Q

.

Để sản xuất

1 kg

mỗi loại sản phẩm

P

hoặc

Q

phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau.

Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần

thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Loại nguyên liệu

Số kilôgam nguyên

liệu đang có

Số kilôgam từng loại

nguyên liệu cần để sản

xuất

1kg

sản phẩm

P

Q

A

10

2

2

B

4

0

2

C

12

2

4

Biết

1 kg

sản phẩm

P

có lợi nhuận 3 triệu đồng và

1 kg

sản phẩm

Q

có lợi nhuận 5 triệu đồng.

Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi

cao nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………………..

Câu 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

2

F

y

x





trên miền xác định bởi hệ

6

2

2

4

x

y

y

x

x

y























.

Trả lời:

………………………..

Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

1

F

x

y







trên miền xác định bởi hệ

2

4

1

2

x

y

y

x

x

y























.

Trả lời:

………………………..

Câu 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

;

)

F x y

x

y





với điều kiện

0

0

3

0

x

y

x

y





















.

Trả lời:

………………………..

Câu 19. Trong mặt phẳng

Oxy

, cho tứ giác

ABCD

có

(

3;0);

(0; 2);

(3;1);

(3;

2)

A

B

C

D





. Tìm tất cả

các giá trị của

m

sao cho điểm

(

;

1)

M m m



nằm trong hình tứ giác

ABCD

kể cả 4 cạnh.

Trả lời:

………………………..

Câu 20. Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi

thuê xe có hai loại xe

A

và

B

, trong đó xe

A

có 10 chiếc và xe

B

có 9 chiếc. Một xe loại

A

cho

thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại

B

cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại

A

có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại

B

có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn

hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.

Trả lời:

………………………..

Câu 21. Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày.

Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600

đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất

2,0 kg

thịt bò và

1,5 kg

thịt lợn. Giá tiền

1 kg

thịt bò là 200 nghìn đồng,

1 kg

thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi

,

x y

lần lượt là số

kg

thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất

mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính

2

2

4x

y



.

Trả lời:

………………………..

Câu 22. Một hộ nông dân định trồng bắp và khoai lang trên diện tích 4ha. Trên diện tích mỗi

ha

,

nếu trồng bắp thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng khoai lang thì cần 15 công và thu 2,5

triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu

ha

để thu được nhiều tiền

nhất, biết rằng tổng số công không quá 45 công.

Trả lời:

………………………..

Câu 23. Người ta dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất

160 kg

hóa chất

A

và

12 kg

hóa

chất

B

. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại

I

giá 5 triệu đồng có thể chiết xuất được

25 kg

chất

A

và

1,2 kg

chất

B

. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại

II

giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được

20 kg

chất

A

và

2 kg

chất

B

. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu

là ít nhất. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 9 tấn nguyên liệu

loại

I

và không quá 7 tấn nguyên liệu loại

II

.

Trả lời:

………………………..

L

Ờ

I GI

Ả

I THAM KH

Ả

O

Câu 1.

Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để

  

m

x

y

với mọi cặp số

(

;

)

x y

thoả mãn hệ bất

phương trình sau:

2

2

2

4

5

0

x

y

x

y

x

y

y

































Trả lời:

5

 

m

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác

ABCD

với

(

1;0),

(5;0),

(2;3)



A

B

C

,

(0; 2)(

D

Hinh). Ta có:

0







   

x

y

m

m

x

y

.

Đặt

  

F

x

y

. Tính giá trị của

  

F

x

y

tại các cặp số

(

;

)

x y

là toạ độ của các đỉnh tứ giác

ABCD

rồi so sánh bằng

5



tại

5,

0





x

y

.

Để

  

m

x

y

với mọi

,

x y

thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì

Min



m

F

trên miền

nghiệm của hệ bất phương trình đó hay

5

 

m

.

Câu 2.

Cho hệ bất phương trình:





5

2

2

3.

x

y

x

y

II

y





















. Tìm tất cả các giá trị của tham số

m

để bất phương

trình

2

5

0







x

y

m

nghiệm đúng với mọi cặp số

(

;

)

x y

thoả mãn hệ bất phương trình (II).

Trả lời:

11



m

Lời giải

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác

ABC

với

(4;1)

A

,

(8;3),

(2;3)

B

C

(Hình).

Ta có:

2

5

0

2

5







  



x

y

m

m

x

y

.

Đặt

2

5

 



F

x

y

. Tính giá trị của

2

5

 



F

x

y

tại các cặp số

(

;

)

x y

là toạ độ của các đỉnh tam

giác

ABC

rồi so sánh các giá trị đó, ta được

F

đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại

2,

3





x

y

.

Để bất phương trình

2

5

0







x

y

m

nghiệm đúng với mọi

,

x y

thoả mãn hệ bất phương trình

đã cho thì

Max



m

F

trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay

11



m

.

Câu 3.

Trong một cuộc thi pha chế đồ uống gồm hai loại là

A

và

B

, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa

24 g

hương liệu, 9 cốc nước lọc và

210 g

đường. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại

A

cần 1 cốc nước lọc,

30 g

đường và

1 g

hương liệu. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại

B

cần 1 cốc nước lọc,

10 g

đường và

4 g

hương liệu. Mỗi cốc đồ uống loại

A

nhận được 6 điểm thương, mỗi cốc đồ uống loại

B

nhận được 8

điểm thưởng. Để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế bao nhiêu cốc đồ uống mỗi

loại?

Trả lời: 4 cốc đồ uống loại

A

, 5 cốc đồ uống loại

B

.

Lời giải

Gọi

,

x y

lần lượt là số cốc đồ uống loại

A

, loại

B

mà đội chơi cần pha chế với

0,

0





x

y

.

Số cốc nước cần dùng là:



x

y

(cốc).

Lượng đường cần dùng là:

30

10 (

)



x

y g

.

Lượng hương liệu cần dùng là:

4 (

)



x

y g

.

Theo giả thiết, ta có:





0

0

0

0

9

9

30

10

210

3

21

4

24

4

24

x

x

y

y

x

y

x

y

III

x

y

x

y

x

y

x

y







































































Số điểm thường nhận được là:

6

8





F

x

y

.

Ta tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (III).

Miền

nghiệm

của

hệ

bất

phương

trình

(III)

là

miền

ngũ

giác

OABCD

với





















0; 0 ,

7; 0 ,

6;3 ,

4; 5 ,

0; 6

O

A

B

C

D

(hình).

Tính giá trị của

6

8

F

x

y





tại các cặp số





;

x y

là tọa độ của các đỉnh ngũ giác

OABCD

rồi so

sánh các giá trị đó, ta được

F

đạt giá trị lớn nhất bằng

64

tại

4;

5

x

y





.

Vậy để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại

A

, 5 cốc đồ

uống loại

B

.

Câu 4.

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki-

lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị

protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là

1,6 kg

thịt bò và

1,1 kg

thịt lợn;

giá

1 kg

thịt bò là 200000 đồng,

1 kg

thịt lợn là 160000 đồng. Hỏi gia đình đó cần mua bao nhiêu ki-lô-

gam thịt mỗi loại để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất?

Trả lời:

0,6kg

thịt bò và

0,7kg

thịt lợn

Lời giải

Gọi

,

x y

lần lượt là số ki-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua trong một ngày với

0

1,6,0

1,1









x

y

.

Số đơn vị protein gia đình có là:

800

600



x

y

.

Số đơn vị lipit gia đình có là:

200

400



x

y

. Theo bài ra, ta có:





0

1, 6

0

1, 6

0

1,1

0

1,1

800

600

900

8

6

9

200

400

400

2

2

x

x

y

y

IV

x

y

x

y

x

y

x

y































































Số tiền gia đình đã dùng để mua thịt bò và thịt lợn là:

200000

160000

T

x

y





(đồng).

Bài toán đưa về tìm

,

x y

là nghiệm của hệ bất phương trình (IV) để

200000

160000





T

x

y

đạt

giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV).

Miền

nghiệm

của

hệ

bất

phương

trình

(IV)

là

miền

tứ

giác

ABCD

với

(0,3;1,1),

(0, 6;0, 7),

(1, 6;0, 2)

A

B

C

,

(1, 6;1,1)

D

(hình)

Tính giá trị của

T

tại các cặp số

(

;

)

x y

là tọa độ của các đỉnh tứ giác

ABCD

rồi so sánh các giá

trị đó, ta được

T

đạt giá trị nhỏ nhất bằng 232000 đồng tại

0,6;

0,7

x

y





Vậy để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất thì gia đình

đó cần mua thêm

0,6kg

thịt bò và

0,7kg

thịt lợn

Câu 5.

Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và

bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng,... Xí

nghiệp đã nhập về

600 kg

bột mì và

240 kg

đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà

xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần

120 g

bột mì,

60 g

đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần

160 g

bột

mì và

40 g

đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh

nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng,

mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng, Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xí nghiệp để đáp ứng nhu cầu thị

trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được

lợi nhuận cao nhất.

Trả lời: 3000 chiếc bánh nướng và

1.500

chiếc bánh dẻo.

Lời giải

Gọi

,

x y

(chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất. Trong đó

0

, 0





x

y

với

*

,



x y

.

Khối lượng bột mỳ cần dùng là:

0,12

0,16 (

)



x

y kg

.

Khối lượng đường cần dùng là:

0,06

0,04 (

)



x

y kg

.

Ta có:

0,12

0,16

600





x

y

hay

3

4

15000





x

y

;

0,06

0,04

240





x

y

hay

3

2

12000





x

y

.

Số tiền lãi thu được là:

8

6





T

x

y

(nghìn đồng). Bài toán đưa về, tìm

,

x y

là nghiệm của hệ bất

phương trình:





3

4

15000

3

2

1200

3

0

0

x

y

x

y

y

x

V

x

y

































để

8

6

T

x

y





đạt giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (V).

Miền

nghiệm

của

hệ

bất

phương

trình

là

miền

tứ

giác

OABC

với

















0; 0 ,

4000; 0 ,

3000;1500 ,

1000;3000

O

A

B

C

Tính giá trị của

T

tại các cặp số

(

;

)

x y

là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được

T

đạt giá trị lớn nhất bằng 33000 (nghìn đồng) hay 33 triệu đồng tại

3000;

1500





x

y

.

Vậy để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và

1.500

chiếc

bánh dẻo.

Câu 6.

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:

- Mỗi kg sản phẩm loại I cần

2 kg

nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn.

- Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lời được 30 nghìn. Xưởng có 200

kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc tối đa. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu đề có mức

lời cao nhất?

Trả lời:

20 sản phẩm loại

I

và 40 sản phẩm loại II

Lời giải:

Gọi

,

x y

lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất được.

Tổng nguyên liệu được dùng là

2

4 (

)



x

y kg

; tổng thời gian sản xuất là

30



x

15y

(giờ);

,

0

x y

.

Ta có hệ bất phương trình:

2

4

200

2

100

30

15

1200

2

80

0

0

0

0

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

y























































Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng

1

2

3

4

:

2

100,

: 2

80,

:

0,

:

0

d

x

y

d

x

y

d

y

d

x













Ta có điểm





1;1

M

thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay tọa độ điểm này vào

hệ:

1

2.1

100

2.1

1

80

1

0

1

0



























(đúng)

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng

có bờ là các đường thẳng

1

2

3

4

,

,

,

d

d

d

d

và không chứa điểm

M

). Khi đó miền nghiệm của hệ bất

phương trình chính là miền của tứ giác

OABC

(kể cả các cạnh của tứ giác đó) với

(0;0),

(0;50),

(20; 40),

(40;0)

O

A

B

C

.

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm:

(

;

)

40

30





F x y

x

y

(nghìn đồng).

Tại

(0; 0)

O

, ta có

(0;0)

0



F

; tại

(0;50)

A

, ta có

(0;50)

1500



F

; tại

(20; 40)

B

, ta có

(20;40)

2000



F

; tại

(40;0)

C

, ta có

(40;0)

1600



F

.

Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2000000 đồng, khi đó

20,

40





x

y

(tức là xưởng cần sản

xuất ra 20 sản phẩm loại

I

và 40 sản phẩm loại II).

Câu 7.

Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha,

nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu

đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu

ha

để thu được nhiều tiền nhất,

biết rằng tổng số công không quá 180 .

Trả lời:

6ha

dứa và

2ha

củ đậu

Lời giải:

Gọi

,

x y

lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu. Điều kiện:

0

8,0

8

x

y

. Tổng diện tích trồng là



x

y

(ha); tổng số công cần thiết là

20

30



x

y

(công). Số tiền thu được là

(

,

)

3

4





T x y

x

y

Ta có hệ bất phương trình

0

8

0

8

0

8

0

8

8

8

20

30

180

2

3

18







































x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Miền nghiệm của hệ

(*)

là miền tứ giác

OABC

(kề cả biên) với

(0;0)

(0;6),

(6; 2),

(0;8)

O

A

B

C

Khi đó

(

,

)

T x y

đạt cực đại tại một trong các đỉnh của tứ giác

OABC

.

Ta có:

(0, 0)

0;

(0;6)

24;

(6; 2)

26;

(8;0)

24









T

T

T

T

.

Vậy giá trị lớn nhất của

(

,

)

T x y

bằng 26 (triệu đồng), khi đó

6,

2





x

y

(tức là hộ nông dân cần

trồng

6ha

dứa và

2ha

củ đậu để có thể thu lại số tiền nhiều nhất).

Câu 8.

Có ba nhóm máy

,

,

X Y Z

dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một

đơn vị sản phẩm mỗi loại lần lượt phải dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong

một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại

được dùng cho trong bảng sau:

Nhóm

Số máy trong mỗi

nhóm

Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra

một đơn vị

Loại I

Loại II

X

10

2

2

Y

4

0

2

Z

12

2

4

Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Hãy

lập kế hoạch sản xuất đề cho tổng số tiền lãi thu được là cao nhất.

Trả lời:

4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II

Lời giải:

Gọi

x

là số đơn vị sản phẩm loại I,

y

là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra. Như vậy tiền lãi

có được là





;

3

5

F x y

x

y





(nghìn đồng).

Theo giả thiết, số máy cần dùng nhóm X:

2

2

x

y



(máy); số máy cần dùng ở nhóm Y là

0

2

x

y



(máy); số máy cần dùng ở nhóm

Z

là

2

4



x

y

(máy).

Ta có hệ bất phương trình





2

2

10

2

4

* :

2

4

12

0,

0



















x

y

y

x

y

x

y

.

Miền nghiệm của hệ

(*)

được biểu diễn là miền của ngũ giác

OABCD

với

(0;0),

(0; 2),

(2; 2),

(4;1),

(5;0)

O

A

B

C

D

.

Xét

(0; 0)

O

, ta có

(0;0)

3.0

5.0

0







F

;

Xét

(0; 2)

A

, ta có

(0; 2)

3.0

5.2

10







F

;

Xét

(2; 2)

B

, ta có

(2; 2)

3.2

5.2

16







F

;

Xét

(4;1)

C

, ta có

(4;1)

3.4

5.1

17







F

;

Xét

(5; 0)

D

, ta có

(5;0)

3.5

5.0

15







F

.

Từ các kết quả trên, ta thấy khoản lãi lớn nhất

(

(

;

)

F x y

lớn nhất) bằng 17 (ngàn đồng), khi đó

người ta cần làm ra 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II (tức là

4,

1





x

y

).

Câu 9.

Tìm GTLN của





,

2

f

x y

x

y





với điều kiện

















1

2

3

4

0

4

0

1

0

2

10

0

y

d

x

d

x

y

d

x

y

d

















 













Trả lời:

10

Lời giải

{

(

;

)}

M x y

thoả mãn (I) là miền bên trong đa giác

OABCD

Tìm toạ độ

,

,

,

A B C D

bằng phương pháp đồ thị hay phương trình hoành độ giao điểm.

Thay toạ độ

,

,

,

,

O A B C D

vào

(

;

)

2





f

x y

x

y

ta có

0

A

B

C

D

(

;

)

f

x y

0

1

10

10

8

max(

(

;

))

10

f

x y





Câu 10.

Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 hecta (ha).

Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì

cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu ha cho mỗi loại cây

để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho

việc trồng ngô và đậu xanh.

Trả lời:

6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.

Lời giải

Gọi

x

là số hecta (ha) đất trồng ngô và y là số hecta đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với

,

x y

như sau: Hiển nhiên

0,

0

x

y





.

- Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên

8





x

y

.

- Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên

20

30

180





x

y

.

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc:

8

20

30

180

0

0

x

y

x

y

x

y



























Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được miền tứ giác

OABC

(Hình). Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là:

(0;0);

(0;6);

(6; 2);

(8;0)

O

A

B

C

Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có:

40

50





F

x

y

.

Ta phải tìm

,

x y

thoả mãn hệ bất phương trình sao cho

F

đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức

40

50





F

x

y

trên miền tứ giác

OABC

.

Tính các giá trị của biểu thức

F

tại các đỉnh của đa giác, ta có:

Tại

(0;0) :

40.0

50.0

0;







O

F

Tại

(0;6) :

40.0

50.6

300







A

F

;

Tại

(6; 2) :

40.6

50.2

340







B

F

;

Tại

(8;0) :

40.8

50.0

320







C

F

.

F

đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại

(6; 2)

B

.

Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.

Câu 11.

Cho hệ bất phương trình:

4

0

0

0

2

0































x

y

x

y

x

y

. Miền nghiệm của hệ tạo thành là hình gì?

Trả lời: Tứ giác

Lời giải

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác

ABOC

với

(

6;

2),

(

2;2)







A

B

và

(0;

2)



C

Câu 12.

Cho biểu thức

3

2

4







T

x

y

với

x

và

y

thỏa mãn hệ bất phương trình:

1

0

4

9

0

2

3

0



 























x

y

x

y

x

y

.

Biết

T

đạt giá trị nhỏ nhất khi

0



x

x

và

0



y

y

. Tính

2

2

0

0



x

y

.

Trả lời: 26

Lời giải

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác

ABC

với

(

5;

1),

(

1;

2)





 

A

B

và

(5; 4)

C

. Lập bảng:

Đỉnh

(

5;

1)





A

(

1;

2)

 

B

(5; 4)

C

T

17



3



3

Vậy

T

đạt giá trị nhỏ nhất bằng

17



khi

5

 

x

và

1

 

y

.

Do đó

0

5

 

x

và

2

2

0

0

0

1

26

  





y

x

y

.

Câu 13.

Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị Prôtêin và 400 đơn vị lipít trong thức ăn mỗi ngày.

Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị

prôtêin và 400 đơn vị Lipít. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất

1,6 kg

thịt bò và

1,1 kg

thịt

lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là

250.000

đồng, giá tiền mỗi kg thịt lợn là

85.000

đồng. Hỏi chi phí ít

nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu?

Trả lời:

168.500

đồng.

Lời giải

Gọi

x

và

y

lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó

x

và

y

phải thỏa mãn hệ:

8

6

9

2

4

4

0

1, 6

0

1,1































x

y

x

y

x

y

. Lượng tiền để mua thịt là:

250

85





T

x

y

(nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác

ABCD

với









0, 6; 0, 7 ,

1, 6;0, 2

A

B

,

(1, 6;1,1)

C

và

(0,3;1,1)



D

.

Lập bảng:

Đỉnh

(0, 6;0, 7)

A

(1, 6;0, 2)

B

T

209.500

417.000

Đỉnh

(1, 6;1,1)

C

(0,3;1,1)

D

T

493.500

168.500

Vậy chi phí mua thịt ít nhất là

168.500

đồng.

Câu 14.

Một công ty

X

có 2 phân xưởng

,

A B

cùng sản xuất 2 loại sản phẩm

,

M N

. Số đơn vị

sản phẩm các loại được sản xuất ra và chi phí mỗi giờ hoạt động của

,

A B

như sau:

Phân xưởng 1

Phân xưởng 2

Sản phẩm

M

250

250

Sản phâm

N

100

200

Chi phí

600.000

1.000.000

Công ty nhận được yêu cầu đặt hàng là 5000 đơn vị sản phẩm

M

và 3000 đơn vị sản phẩm

N

.

Công ty đã tìm được cách phân phối thời gian cho mỗi phân xưởng hoạt động thỏa mãn yêu cầu

đơn đặt hàng và chi phí thấp nhất. Hỏi chi phí thấp nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời:

16000000 đồng.

Lời giải

Gọi x, y lần lượt là số giờ nên cho phân xưởng

A

và

B

. Ta có bài toán

600000

1000000

min







F

x

y

F

thỏa





250

250

5000

(1)

100

200

3000

(2)

0,

0

3

x

y

x

y

x

y























Miền ràng buộc

D

của bài toán được biểu diễn bằng cách vẽ đồ thị bất phương trình (1) và

(2)

và (3) tạo thành miền kín rồi lấy các điểm giao nhau làm tọa độ điểm đỉnh. Đỉnh nào làm cho

F

nhỏ nhất thì thỏa yêu cầu bài toán.

Qua vẽ hình ta tình được phương án tối ưu là

10,

10





x

y

Vậy để thõa mãn yêu cầu đặt hằng với chi phí thấp nhất công ty cần cho phân xưởng

A

và

B

hoạt động 10 giờ. Chí phí thấp nhất là 16000000 đồng.

Câu 15.

Một người dùng ba loại nguyên liệu

,

,

A B C

để sản xuất ra hai loại sản phẩm

P

và

Q

.

Để sản xuất

1 kg

mỗi loại sản phẩm

P

hoặc

Q

phải dùng một số kilôgam nguyên liệu khác nhau.

Tổng số kilôgam nguyên liệu mỗi loại mà người đó có và số kilôgam từng loại nguyên liệu cần

thiết để sản xuất ra 1 kg sản phẩm mỗi loại được cho trong bảng sau:

Loại nguyên liệu

Số kilôgam nguyên

liệu đang có

Số kilôgam từng loại

nguyên liệu cần để sản

xuất

1kg

sản phẩm

P

Q

A

10

2

2

B

4

0

2

C

12

2

4

Biết

1 kg

sản phẩm

P

có lợi nhuận 3 triệu đồng và

1 kg

sản phẩm

Q

có lợi nhuận 5 triệu đồng.

Người đó đã lập được phương án sản xuất hai loại sản phẩm trên sao cho có lãi cao nhất. Hỏi lãi

cao nhất bằng bao nhiêu?

Trả lời:

17 triệu đồng.

Lời giải

Gọi x là số kilôgam sản phẩm

P

, y là số kilôgam sản phẩm

Q

cân sản xuất. Ta có hệ bất phương

trình:

2

2

10;2

4;2

4

12;

0;

0















x

y

y

x

y

x

y

.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được như hình trên.

Miền nghiệm là miền ngũ giác

OCBAD

, các đỉnh:

(0;0);

(0; 2);

(2; 2);

(4;1)

O

C

B

A

;

(5; 0)

D

Gọi F là số tiên lãi (đơn vị: triệu đồng) thu được, ta có:

3

5





F

x

y

.

Tính giá trị của

F

tại các đỉnh của ngũ giác:

Tại

(0;0) :

3.0

5.0

0;







O

F

Tại

(0; 2) :

3.0

5.2

10







C

F

;

Tại

(2; 2) :

3.2

5.2

16;







B

F

Tại

(4,1) :

3.4

5.1

17







A

F

;

Tại

(5;0) :

3.5

5.0

15







D

F

.

F

đạt giá trị lớn nhất bằng 17 tại

(4;1)

A

.

Vậy cân sản xuất

4 kg

sản phẩm

P

và 1 kg sản phẩm

Q

để có lãi cao nhất là 17 triệu đồng.

Câu 16.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

2

F

y

x





trên miền xác định bởi hệ

6

2

2

4

x

y

y

x

x

y























.

Trả lời: -16

Lời giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

2

F

y

x





trên miền xác định bởi hệ

6

2

4

x

y

x

x

y





















. Vẽ đường

thẳng

1

:

6

0

d

x

y







đi qua hai điểm

(0;

6)



và

(6;0)

.

Vẽ đường thẳng

2

:

2

0

d

x





đi qua hai điểm

(2;0)

và

(2; 2)

.

Vẽ đường thẳng

3

:

4

0

d

x

y







đi qua hai điểm

(0; 4)

và

(4;0)

.

Xét điểm

(3;0)

M

. Ta thấy tọa độ

M

thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình

6

2

4

x

y

x

x

y





















là miền không bị tô đậm (hình tam giác

ABC

bao gồm cả các cạnh

,

AB BC

và

AC

trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm

,

,

A B C

.

Điểm

2

3

A

d

d





nên tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ

2

2

4

0

2

x

x

x

y

y



























. Vậy

(2; 2)

A

.

Điểm

1

3

B

d

d





nên tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ

6

0

5

4

0

1

x

y

x

x

y

y

























 





. Vậy

(5;

1)

B



Điểm

1

2

C

d

d





nên tọa độ điểm

C

là nghiệm của hệ

2

2

6

0

4

x

x

x

y

y





















 





. Vậy

(2;

4)

C



.

Ta thấy

3

2

F

y

x





đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

A B C

.

Tại

(2; 2)

A

thì

2

F



.

Tại

(5;

1)

B



thì

13

F

 

Tại

(2;

4)

C



thì

16

F

 

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3

2

F

y

x





trên miền xác định bởi hệ

6

2

4

x

y

x

x

y





















là -16 khi

2,

4

x

y



 

.

Câu 17.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

1

F

x

y







trên miền xác định bởi hệ

2

4

1

2

x

y

y

x

x

y























.

Trả lời:

3

Lời giải

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3

1

F

x

y







trên miền xác định bởi hệ

2

4

1

2

x

y

y

x

x

y























Vẽ đường thẳng

1

: 2

4

0

d

x

y







đi qua hai điểm

(0;

4)



và

(2;0)

.

Vẽ đường thẳng

2

:

1

0

d

x

y

 

 

đi qua hai điểm

(0;1)

và

(

1;0)



.

Vẽ đường thẳng

3

:

2

0

d

x

y







đi qua hai điểm

(0; 2)

và

(2;0)

.

Xét điểm

(2; 2)

M

. Ta thấy tọa độ

M

thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình

2

4

1

2

x

y

y

x

x

y























là miền không bị tô đậm (hình tam giác

ABC

bao gồm cả các cạnh

,

AB BC

và

AC

trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm

,

,

A B C

.

Điểm

2

3

A

d

d





nên tọa độ điểm

A

là

nghiệm của hệ

1

1

?

2

3

2

x

x

y

x

y

y











 































.

Vậy

1 3

;

2 2

A













.

Điểm

1

2

B

d

d





nên tọa độ điềm

B

là nghiệm của hệ

2

4

0

5

1

0

6

x

y

x

x

y

y



















 

 







. Vậy

(5;6)

B

.

Điểm

1

3

C

d

d





nên tọa độ điểm

C

là nghiệm của hệ

2

4

0

2

2

0

0

x

y

x

x

y

y































. Vậy

(2; 0)

C

.

Ta thấy

3

1

F

x

y







đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

A B C

.

Tại

1 3

;

2 2

A













thì

3

F

 

.

Tại

(5;6)

B

thì

12

F

 

Tại

(2; 0)

C

thì

3

F



Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức

3

1

F

x

y







trên miền xác định bởi hệ

2

4

1 là 3

2

x

y

y

x

x

y























khi

2,

0

x

y





.

Câu 18.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

;

)

F x y

x

y





với điều kiện

0

0

3

0

x

y

x

y





















.

Trả lời: -3

Lời giải

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(

;

)

F x y

x

y





với điều kiện

0

0

3

0

x

y

x

y





















.

Vẽ đường thẳng

1

:

0

d

x



đi qua hai điểm

(0;0)

và

(0;1)

.

Vẽ đường thẳng

2

:

0

d

y



đi qua hai điểm

(0;0)

và

(1;0)

.

Vẽ đường thẳng

3

:

3

0

d

x

y







đi qua hai điểm

(0;3)

và

(3; 0)

.

Xét điểm

(1;1)

M

. Ta thấy tọa độ

M

thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.

Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình

0

0

3

0

x

y

x

y





















là miền không bị tô đậm (hình tam

giác

OAB

bao gồm cả các cạnh

,

OA OB

và

AB

trên hình vẽ).

Tìm tọa độ các điểm

,

,

O A B

.

Điểm

1

2

O

d

d





nên tọa độ điểm

O

là nghiệm của hệ

0

0

x

y











. Vậy

(0; 0)

O

.

Điểm

1

3

A

d

d





nên tọa độ điểm

A

là

nghiệm của hệ

0

0

3

0

3

x

x

x

y

y



























. Vậy

(0;3)

A

.

Điểm

2

3

B

d

d





nên tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ

0

3

3

0

0

y

x

x

y

y



























. Vậy

(3;0)

B

.

Ta thấy

F

x

y





đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

O A B

.

Tại

(0; 0)

O

thì

0

F



.

Tại

(0;3)

A

thì

3

F

 

Tại

(3;0)

B

thì

3

F



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F

x

y





trên miền xác định bởi hệ

0

0

3

0

x

y

x

y





















là -3

khi

0,

3

x

y





.

Câu 19.

Trong mặt phẳng

Oxy

, cho tứ giác

ABCD

có

(

3;0);

(0; 2);

(3;1);

(3;

2)

A

B

C

D





. Tìm tất cả

các giá trị của

m

sao cho điểm

(

;

1)

M m m



nằm trong hình tứ giác

ABCD

kể cả 4 cạnh.

Trả lời:

9

0

4

m





Lời giải

Trong mặt phẳng

Oxy

, cho tứ giác

ABCD

có

(

3;0);

(0; 2);

(3;1);

(3;

2)

A

B

C

D





. Tìm tất cả các giá

trị của

m

sao cho điểm

(

;

1)

M m m



nằm trong hình tứ giác

ABCD

kể cả 4 cạnh.

Nhận thấy hình tứ giác

ABCD

tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm

4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm

(0; 0)

O

và lần lượt có các bờ là

các đường thẳng

,

,

AB BC CD

và

DA

.

Phương trình đường thẳng

AB

:

3

0

2

3

6

0.

0

(

3)

2

0

x

y

x

y















 



Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ

AB

(tính cả bờ

AB

) và chứa điểm

O

là

2

3

6

0

x

y







.

Phương trình đường thẳng

0

2

:

3

6

0

3

0

1

2

x

y

BC

x

y







 









. Bất phương trình có miền nghiệm là

là nửa mặt phẳng bờ

BC

(tính cả bờ

BC

) và chứa điểm

O

là

3

6

0

x

y







.

Phương trình đường thẳng

:

3

0

CD x





. Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng

bờ

CD

(tính cả bờ

CD

) và chứa điểm

O

là

3

0

x





.

Phương trình đường thẳng

3

0

:

3

3

0

3

(

3)

2

0

x

y

DA

x

y







 





 

 

. Bất phương trình có miền

nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ

DA

(tính cả bờ

DA

) và chứa điểm

O

là

3

3

0

x

y







.

Hình tứ giác

ABCD

tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình

2

3

6

0

3

6

0

(1)

3

0

3

3

0





































x

y

x

y

x

x

y

Điểm

(

;

1)

M m m



nằm trong hình tứ giác

ABCD

tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi

(

;

1)

m m



là

một nghiệm của hệ

(1)

, tức là

9

2

3(

1)

6

0

9

3(

1)

6

0

9

0

4

3

0

4

3

3(

1)

3

0

0

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m

m







































 







































Vậy các giá trị của

m

thỏa mãn là

9

0

4

m





.

Câu 20.

Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi

thuê xe có hai loại xe

A

và

B

, trong đó xe

A

có 10 chiếc và xe

B

có 9 chiếc. Một xe loại

A

cho

thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại

B

cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại

A

có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại

B

có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn

hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.

Trả lời: 4 xe loại

A

và 3 xe loại

B

.

Lời giải

Gọi

,

(

)

x y xe

lần lượt là số xe loại

A

và

B

cần thuê.

Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là

(

;

)

5

4

F x y

x

y





(triệu đồng)

Ta có

x

xe loại

A

chở được

30x

người và

0,8x

tấn hàng;

y

xe loại

B

chở được

20y

người và

1, 6y

tấn hàng.

Suy ra

x

xe loại

A

và

y

xe loại

B

chở được

30

20

x

y



người và

0,8

1,6

x

y



tấn hàng.

Ta có hệ bất phương trình sau:

30

20

180

3

2

18

0,8

1, 6

8

2

10

0

10

0

10

0

9

0

9

x

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

y































































(*)

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

(

;

)

F x y

trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ

(*)

là tứ giác

ABCD

(kể cả bờ)

Tìm tọa độ các điểm

,

,

,

A B C D

.

Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ

3

2

18

0

0

9

9

x

y

x

y

y



























. Vậy

(0;9)

A

.

Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ

3

2

18

0

4

2

10

0

3

x

y

x

x

y

y































. Vậy

(4;3)

B

.

Tọa độ điểm

C

là nghiệm của hệ

10

10

2

10

0

0

x

x

x

y

y



























. Vậy

(10;0)

C

.

Tọa độ điểm

D

là nghiệm của hệ

10

10

9

9

x

x

y

y























. Vậy

(10;9)

D

.

Ta thấy

(

;

)

5

4

F x y

x

y





đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

,

A B C D

.

Tại

(0;9)

A

thì

36

F



(triệu đồng).

Tại

(4;3)

B

thì

32

F



(triệu đồng).

Tại

(10;0)

C

thì

50

F



(triệu đồng).

Tại

(10;9)

D

thì

86

F



(triệu đồng).

Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại

A

và 3 xe loại

B

.

Câu 21.

Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày.

Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600

đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất

2,0 kg

thịt bò và

1,5 kg

thịt lợn. Giá tiền

1 kg

thịt bò là 200 nghìn đồng,

1 kg

thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi

,

x y

lần lượt là số

kg

thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất

mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính

2

2

4x

y



.

Trả lời:

45

16

Lời giải

Điều kiện:

0

2;0

1,5

x

y









Khi đó số protein có được là

800

600

x

y



và số lipit có được là

200

400

x

y



Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều

kiện tương ứng là:

800

600

1200

4

3

6 và 200

400

800

2

4

x

y

x

y

x

y

x

y





 







 



Ta có hệ bất phương trình sau:

0

2

0

1, 5

4

3

6

2

4

x

y

x

y

x

y































(*)

Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác

ABCDE

kể cả các cạnh của ngũ giác.

Chi phí để mua

x kg

thịt bò và

y kg

thịt lợn là

200

100

T

x

y





(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

(

;

)

200

100

T x y

x

y





trên miền nghiệm của hệ

(*)

.

Tìm tọa độ các điểm

,

,

,

,

A B C D E

.

Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ

3

4

5

6

0

8

3

3

2

2

x

y

x

y

y











































. Vậy

3 3

;

8 2

A













.

Tọa độ điềm

C

là nghiệm của hệ

2

0

x

y











. Vậy

(2; 0)

C

.

Tọa độ điểm

D

là nghiệm của hệ

2

2

2

4

0

1

x

x

x

y

y



























. Vậy

(2;1)

D

.

Tọa độ điểm

E

là nghiệm của hệ

2

4

0

1

3

3

2

2

x

y

x

y

y



































. Vậy

3

1;

2

E













.

Ta thấy

(

;

)

200

100

T x y

x

y





đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

,

,

A B C D E

.

Tại

3 3

;

8 2

A













thì

3

3

200

100

225

8

2

T











(nghìn đồng).

Tại

3

; 0

2

B













thì

3

200

100 0

300

2

T











(nghìn đồng).

Tại

(2; 0)

C

thì

200.2

100.0

400

T







(nghìn đồng).

Tại

(2;1)

D

thì

200.2

100.1

500

T







(nghìn đồng).

Tại

3

1;

2

E













thì

3

200.1

100

350

2

T









(nghìn đồng).

Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi

3

8

x



và

2

2

2

2

3

3

3

45

4

4

2

8

2

16

y

x

y







































.

Câu 22.

Một hộ nông dân định trồng bắp và khoai lang trên diện tích 4ha. Trên diện tích mỗi

ha

,

nếu trồng bắp thì cần 10 công và thu 2 triệu đồng, nếu trồng khoai lang thì cần 15 công và thu 2,5

triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu

ha

để thu được nhiều tiền

nhất, biết rằng tổng số công không quá 45 công.

Trả lời:

3ha

bắp và

1ha

khoai lang

Lời giải

Gọi

,

(

)

x y ha

lần lượt là số

ha

trồng bắp và khoai lang.

Điều kiện

0

4;0

4;

4

x

y

x

y













;

10

15

45

2

3

9

x

y

x

y





 



Số tiền thu được là

(

,

)

2

2,5

T x y

x

y





(triệu đồng).

Ta có hệ

0

4

0

4

4

2

3

9

x

y

x

y

x

y































(*)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của

(

;

)

2

2,5

T x y

x

y





trên miền nghiệm của hệ

(*)

.

Tìm tọa độ các điểm

,

,

,

O A B C

.

Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ

0

0

2

3

9

0

3

x

x

x

y

y



























. Vậy

(0;3)

A

.

Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ

4

0

3

2

3

9

0

1

x

y

x

x

y

y































. Vậy

(3;1)

B

.

Tọa độ điểm

C

là nghiệm của hệ

4

0

4

0

0

x

y

x

y

y



























. Vậy

(4; 0)

C

.

Tọa độ điểm

(0; 0)

O

.

Ta thấy

(

;

)

2

2,5

T x y

x

y





đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

,

O A B C

.

Tại

(0;3)

A

thì

2.0

2,5.3

7,5

T







(triệu đồng).

Tại

(3;1)

B

thì

2.3

2,5.1

8,5

T







(triệu đồng).

Tại

(4; 0)

C

thì

2.4

2,5.0

8

T







(triệu đồng).

Tại

(0; 0)

O

thì

2.0

2,5.0

0

T







(triệu đồng).

Vậy cần trồng

3ha

bắp và

1ha

khoai lang để thu được số tiền nhiều nhất.

Câu 23.

Người ta dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất

160 kg

hóa chất

A

và

12 kg

hóa

chất

B

. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại

I

giá 5 triệu đồng có thể chiết xuất được

25 kg

chất

A

và

1,2 kg

chất

B

. Từ mỗi tấn nguyên liệu loại

II

giá 4 triệu đồng có thể chiết xuất được

20 kg

chất

A

và

2 kg

chất

B

. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu

là ít nhất. Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp không quá 9 tấn nguyên liệu

loại

I

và không quá 7 tấn nguyên liệu loại

II

.

Trả lời: dùng

4

5

tấn nguyên liệu loại

I

và 7 tấn nguyên liệu loại

II

hoặc dùng

40

13

tấn nguyên

liệu loại

I

và

54

13

tấn nguyên liệu loại

II

Lời giải

Gọi

,

x y

(tấn) lần lượt là số tấn nguyên liệu loại

I

và loại

II

cần sử dụng.

Điều kiện

0

9;0

7

x

y









.

Khi đó số kg chất

A

thu được là:

25

20

x

y



Số kg chất

B

thu được là:

1, 2

2

x

y



Ta có hệ bất phương trình

0

9

0

9

0

7

0

7

25

20

160

5

4

32

1, 2

2

12

3

5

30

x

x

y

y

x

y

x

y

x

y

x

y































































Chi phí mua nguyên liệu là:

(

;

)

6

4

T x y

x

y





(triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của

(

;

)

5

4

T x y

x

y





trên miền nghiệm của hệ (*).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền được tô màu như hình vẽ.

Tìm tọa độ các điểm

,

,

,

A B C D

.

Tọa độ điểm

A

là nghiệm của hệ

4

5

5

4

32

0

7

7



































x

y

x

y

y

. Vậy

4

7

5

;













A

.

Tọa độ điểm

B

là nghiệm của hệ

40

5

4

32

0

13

3

5

30

0

54

13

x

x

y

x

y

y















































. Vậy

40 54

;

13 13

B













.

Tọa độ điểm

C

là nghiệm của hệ

9

9

3

3

5

30

0

5

x

x

x

y

y



































. Vậy

3

9;

5

C













.

Tọa độ điểm

D

là nghiệm của hệ

9

7

x

y











. Vậy

(9; 7)

D

.

Ta thấy

(

;

)

5

4

T x y

x

y





đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm

,

,

,

A B C D

.

Tại

4

; 7

5

A













thì

4

5

4.7

32

5

T









(triệu đồng).

Tại

40 54

;

13 13

B













thì

40

54

5

4

32

13

13

T











(triệu đồng).

Tại

3

9;

5

C













thì

3

5.9

4

47, 4

5

T









(triệu đồng).

Tại

(9; 7)

D

thì

5.9

4.7

73

T







(triệu đồng).

Vậy cần dùng

4

5

tấn nguyên liệu loại

I

và 7 tấn nguyên liệu loại

II

hoặc dùng

40

13

tấn nguyên

liệu loại

I

và

54

13

tấn nguyên liệu loại

II

để chi phí mua nguyên liệu là nhỏ nhất.