UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI OLYMPIC

Năm học 2022-2023

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)

Môn: Toán 8

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x

2

- xy - y + 4 =0

b) Tìm số tự nhiên n để: A = n

3

- n

2

– n - 2 là số nguyên tố

c) Cho biểu thức B = n

3

+ 2n

2

+ 2n + 1 (Với n là số nguyên dương). Chứng

minh rằng B không là số chính phương.

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A =

3

2

2

2

1

1

.

1

1

2

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

−





−

−





−

+

−

+

−





( Với x ≠ 1)

b) Xác định a, b sao cho đa thức f(x) = x

4

+ a.x

2

+ 3x + b chia hết cho đa thức

g(x) = x

2

+ x - 2

c) Giải phương trình:

2

𝑥𝑥

2

+1

+

3

𝑥𝑥

2

+2

+

4

𝑥𝑥

4

+3

= 3

Câu 3. (4,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x

2

+ 2y

2

– 2xy + 4x – 10y + 20

b) Cho a, b là các thực thỏa mãn a.b > 0

Chứng minh rằng

4𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎+𝑎𝑎)

2

+

𝑎𝑎

𝑎𝑎

+

𝑎𝑎

𝑎𝑎

≥ 3

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho đoạn thẳng AB cố định, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax

và By cùng vuông góc với AB. Điểm C di chuyển trên tia Ax, D là trung điểm của

AB. Vẽ AH vuông góc với CD, AH cắt BC và tia By lần lượt tại F và E.

a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADE.

b) Chứng minh DE vuông góc với BC.

c) Xác định vị trí của C trên tia Ax sao cho CF = 2.FB.

--- Hết ---

(Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: .......................................................................... Số báo danh:……………

2

UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC

Năm học 2022-2023

(Đáp án gồm 03 trang)

Môn: Toán 8

Câu

Ý

Nội dung

Điểm

Câu

1

A

x

2

- xy - y +4 =0

<=> x

2

-1 –(xy+y) +5 = 0

<=> (x-1)(x +1) – y(x+1) =-5

<=> (x+1)(y-x+1) = 5

=> x+1 thuộc Ư(5) ={1 ;5 ;-1 ;-5}

Ta có bảng kết quả

x+1

1

5

-1

-5

y-x+1

5

1

-5

-1

x

0

4

-2

-6

y

4

8

2

-1

0,5

0.5

0.5

B

A = n

3

- n

2

– n -2= (n-2)(n

2

+n +1)

+ Nếu n = 0 => A = -2 (không thỏa mãn)

+ Nếu n = 1 => A = -3 không thỏa mãn

+ Nếu n = 2 => A = 0 (KTM)

+ Nếu n= 3 => A = 13 là số nguyên tố

+ Nếu n ≥ 4 => n-2 ≥ 2, n

2

+n+1 >2

⇒

A là hợp số

Vậy n = 3

0.25

0,25

0.25

0,25

0.25

0,25

C

Giả sử B = n

3

+2n

2

+2 n + 1 là số chính phương

B= (n

2

+n+1)(n+1)

Gọi d =ƯC LN(n

2

+n+1,n+1)

=> n

2

+n +1 và n+1 cùng chia hết cho d

=> (n

2

+n+1) –n(n+1)

⋮

d =>1)

⋮

d => d =1

=> n

2

+n +1 và n+1 đồng thời là số chính phương

Mà n>0 => n

2

< n

2

+n +1 < (n+1)

2

=> n

2

+n +1 không là số chính

phương

=> giả sử sai nên B không là số chính phương

0. 25

0.25

0,25

0,25

Câu

2

a

2,0

A =

1

𝑥𝑥−1

−

𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)

𝑥𝑥

2

+1

.

(

𝑥𝑥

(

𝑥𝑥+1

)

−𝑥𝑥+1

(

𝑥𝑥−1

)

2

(𝑥𝑥+1)

)

A=

1

𝑥𝑥−1

−

𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+1)

𝑥𝑥

2

+1

.

(

𝑥𝑥

2

+1

(

𝑥𝑥−1

)

2

(𝑥𝑥+1)

)

A=

1

𝑥𝑥−1

−

𝑥𝑥

𝑥𝑥−1

.

A =

1−𝑥𝑥

𝑥𝑥−1

A= -1

0.5

0.5

0,5

0,5

3

B

g(x) = x

2

+x -2 = (x-1)(x+2)

Ta có f(x) chia hết cho g(x) => f(x) = (x-1)(x+2).h(x) ( đúng với

mọi x)

Cho x = 1

⇒

f(1) = 0

⇒

1 + a + 3 + b = 0

⇒

a + b = -4

Cho x = -2 => f(-2) = 0 => 16 + 4a -6 + b = 0=> 4a + b = -10

Ta giải được a = - 2 ; b= -2

0.5

0,5

0.5

0.5

c.

2

𝑥𝑥

2

+ 1

+

3

𝑥𝑥

2

+ 2

+

4

𝑥𝑥

4

+ 3

= 3

<=>

1 −

2

𝑥𝑥

2

+1

+ 1 −

3

𝑥𝑥

2

+2

+ 1 −

4

𝑥𝑥

4

+3

= 0

<=>

𝑥𝑥

2

−1

𝑥𝑥

2

+1

+

𝑥𝑥

2

−1

𝑥𝑥

2

+2

+

𝑥𝑥

4

−1

𝑥𝑥

4

+3

= 0

<=>(

𝑥𝑥

2

− 1)

(

1

𝑥𝑥

2

+1

+

1

𝑥𝑥

2

+2

+

𝑥𝑥

2

+1

𝑥𝑥

4

+3

) = 0

<=> x

2

= 1 => x = 1 hoặc x = -1

0.5

0.5

0,5

0,5

Câu

3

a

B = x

2

+2y

2

– 2xy +4x– 10y + 20

B = (x-y)

2

+4.(x-y) +4 + (y

2

-6y +9) + 7

B = (x-y +2)

2

+ (y-3)

2

+7

⇒

B

≥ 𝟕𝟕

⇒

GTNN của B là 7 khi y = 3; x =1

0,5

0,5

0,5

0,5

B

4𝑎𝑎𝑎𝑎

(𝑎𝑎+𝑎𝑎)

2

+

𝑎𝑎

𝑎𝑎

+

𝑎𝑎

𝑎𝑎

≥ 3

<=>

(

4𝑎𝑎𝑎𝑎

(

𝑎𝑎+𝑎𝑎

)

2

− 1) + (

𝑎𝑎

𝑎𝑎

+

𝑎𝑎

𝑎𝑎

− 2) ≥ 0

<=>

−(𝑎𝑎−𝑎𝑎)

2

(𝑎𝑎+𝑎𝑎)

2

+

(𝑎𝑎−𝑎𝑎)

2

𝑎𝑎𝑎𝑎

≥ 0

<=>

(

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

)

2

(

1

𝑎𝑎𝑎𝑎

−

1

(

𝑎𝑎+𝑎𝑎

)

2

) ≥ 0

<=>

(

𝑎𝑎 − 𝑏𝑏

)

2

(

𝑎𝑎

2

+𝑎𝑎

2

+𝑎𝑎𝑎𝑎

𝑎𝑎𝑎𝑎

(

𝑎𝑎+𝑎𝑎

)

2

) ≥ 0

BĐT cuối đúng do ab >0 => đpcm

0.5

0.5

0.5

0,5

Câu

4

0,5

a

∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

(gg)

1,0

y

x

K

F

E

H

D

A

B

C

4

=>

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴

=

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴

=>

∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

(c-g-c)

0,5

0,5

B

∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴 (𝑔𝑔𝑔𝑔)

AD

2

= DH.DC => BD

2

= DH.DC=>

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴

=

𝐴𝐴𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴

=>

∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐶𝐶

(c-g-c) => góc DBH = góc DCB

Mà góc DBH = góc AED (

∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

)

=> Góc DCB = góc AED

Gọi K là giao điểm của DE và BC =>

∆𝐴𝐴𝐶𝐶𝐻𝐻 ∾ ∆𝐾𝐾𝐴𝐴𝐻𝐻

(g-g)



Góc EKF = góc CHF = 90

0



DE vuông góc với BC

0,5

0.5

0,5

0,5

C

BE//AC =>

𝐴𝐴𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴

=

𝐷𝐷𝐶𝐶

𝐴𝐴𝐶𝐶

= 2

=> AC =2.BE

∆𝐶𝐶𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴

(g-g) =>

𝐴𝐴𝐷𝐷

𝐴𝐴𝐴𝐴

=

𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐴𝐴𝐴𝐴

=> AC.BE = AD.AB

=> AC.

𝐴𝐴𝐷𝐷

2

=

𝐴𝐴𝐴𝐴

2

.AB

=> AC = AB => C thuộc tia Ax sao cho AC = AB không đổi

0,5

0,5

0,5

---Hết---