1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

HÌNH BÌNH HÀNH

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

• Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cặp cạnh đối song song.

Tứ giác ABCD là

hình bình hành

/ /

D / /

AB

CD

A

BC









* Tính chất: Trong hình bình hành:

- Các cạnh đối bằng nhau.

- Các góc đối bằng nhau.

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

* Dấu hiệu nhận biết:

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành.

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

A.CÁC DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.

Phương pháp giải: Vận dụng định nghĩa và các tính chất về cạnh, góc và đường chéo của hình bình

hành.

Bài 1. Cho hình bình hành

ABCD

. Gọi E và

F

theo thứ tự là trung điểm của

AB

và

CD

.

a)

Chứng minh rằng

/ /

AF

CE

.

b)

Gọi

,

M N

theo

thứ

tự

là

giao

điểm

của

BD

với

,

AF CE

.

Chứng

minh

rằng:

.

DM

MN

NB





Bài 2. Cho hình bình hành

,

ABCD O là giao điểm của hai đường chéo,

E và F

theo thứ tự là trung

điểm của

OD

và

.

OB

a)

Chứng minh rằng

/ /

.

AE

CF

b)

Gọi K là giao điểm của

AE

và

DC

. Chứng minh rằng

1

2

DK

KC



.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Bài 3. Cho tứ giác

.

ABCD

Gọi

,

,

,

E F G H theo thứ tự là trung điểm của

,

,

,

.

BD AB AC CD

a)

Chứng minh rằng

EFGH

là hình bình hành.

b)

Cho

,

.

AD

a

BC

b





Tính chu vi của hình bình hành

.

EFGH

Bài 4. Cho

ABC



, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C

cắt nhau tại D. CMR:

a)

BDCH

là hình bình hành.

b)





0

180

BAC

BDC





c)

,

,

H M D

thẳng hàng ( M là trung điểm của

BC

).

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Bài 5. Cho hình bình hành

ABCD

có

,

E F

lần lượt là trung điểm

,

.

AB CD

a)

CMR:

/ /

.

AF

EC

b)

CMR:

.

ED

BF



c)

Gọi

O

là giao điểm của

AC

và BD . CMR:

,

,

E O F thẳng hàng.

d)

AF

cắt ED tại

,

G BF cắt

EC

tại H . CMR:

,

,

G O H thẳng hàng.

e)

CMR:

/ /

GH

CD

.

f)

Giả sử

4

AB

cm



. Tìm

GH

?

Bài 6. Cho hình bình hành

ABCD

. Lấy

,

N

AB M CD





sao cho

AN

CM



.

a)

CMR:

/ /

.

AM

CN

b)

CMR:

.

DN

BM



c)

CMR:

,

,

AC BD MN đồng quy.

HƯỚNG DẪN

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh các tính chất hình học.

Bài 1. Cho hình bình hành

ABCD

. Gọi E và

F

theo thứ tự là trung điểm của

AB

và

CD

.

a)

Chứng minh rằng

/ /

AF

CE

.

b)

Gọi

,

M N

theo

thứ

tự

là

giao

điểm

của

BD

với

,

AF CE

.

Chứng

minh

rằng:

.

DM

MN

NB





Hướng dẫn giải

a)

Ta có

ABCD

là hình bình hành nên

AB

CD



(tc hbh).

Mà

,

E F

là trung điểm cuả

AB

và

CD

AB

CF

BE

DF









.

Xét tứ giác

AECF

, có

(

)

AE

CF

AE

CF doAB CD













AECF

là hình bình hành

AF

EC





.

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

b)

Gọi





AC

BD

O





Xét

ADC



có

; A

DO

F

là trung tuyến;





AF

DO

M





M



là trọng tâm của

ADC



2

2

(1)

3

3

(do

)

1

1

(2)

3

3

DM

DO

BO

DO

BO

OM

DO

BO



























Xét

ABC



có:

;

BO CE

là trung tuyến,





BO

CE

N





N



là trọng tâm của

ABC



2

(3)

3

1

(4)

3

BN

BO

ON

BO





















Từ (2) và (4)

1

1

2

(5)

3

3

3

MN

OM ON

BO

BO

BO













Từ (1); (3) và (5)

DM

BN

MN







(đpcm).

Bài 2. Cho hình bình hành

,

ABCD O là giao điểm của hai đường chéo,

E và F

theo thứ tự là trung

điểm của

OD

và

.

OB

a)

Chứng minh rằng

/ /

.

AE

CF

b)

Gọi

K

là giao điểm của

AE

và

DC

. Chứng minh rằng

1

2

DK

KC



.

Hướng dẫn giải

a)





AC

BD

O

DO

BO









;

E F

là

trung

điểm

của

DO

và

BO

nên:

DE

EO

OF

FB







Xét tứ giác

AFCE

, có:





AC

EF

O

OA

OC

OE

OF



















AFCE



là hình bình hành (dhnb)

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

AE

CF





(tc hbh).

b)

Từ

O

kẻ

OM EK



Xét

DOM



có

OM EK



Và

E

là trung điểm của

DO

K



là trung điểm của

DM

(1)

DK

KM





Xét

CDK



, có

/ /

OM

AK

và

O

là trung điểm của

AC

M



là trung điểm của

KC

(2)

CM

KM





Từ (1) và (2)

DK

KM

CM







Mà

KM CM

KC





1

2

DK

KC





(đpcm).

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Bài 3. Cho tứ giác

.

ABCD

Gọi

,

,

,

E F G H theo thứ tự là trung điểm của

,

,

,

.

BD AB AC CD

a)

Chứng minh rằng

EFGH

là hình bình hành.

b)

Cho

,

.

AD

a

BC

b





Tính chu vi của hình bình hành

.

EFGH

Hướng dẫn giải

a)

Xét

ABD



có

;

F E

lần lượt là tủng điểm của

;

AB BD

EF



Là đường trung bình của

ABD



(1)

1

(2)

2

EF

AD

EF

AD

















5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Tương tự, ta có

GH

là đường trung bình của

ACD



(3)

1

(4)

2

GH

AD

GH

AD

































1

3

2

4

và

và

EF

GH

EF

GH





















tứ giác

GFEH

là hình bình hành.

b)

Ta có:

1

1

2

2

GH

EF

AD

a







Tương tự:

1

1

2

2

FG

HE

BC

b







 Chu vi của tứ giác

GFEH

là:

1

1

.2

2

2

a

b

a

b



















.

Bài 4. Cho

ABC



, trực tâm H. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C

cắt nhau tại D. CMR:

a)

BDCH

là hình bình hành.

b)





0

180

BAC

BDC





c)

,

,

H M D

thẳng hàng ( M là trung điểm của

BC

).

Hướng dẫn giải

a)

Ta có

(1)

CH

AB

CH

BD

BD

AB















Lại có

(2

BH

AC

BH CD

CD

AC















)

Từ (1) và (2)

BHCD

là hình bình hành.

b)

Tứ giác

ABCD

có:

















360

90

90

360

180 (dpcm).

BAC

ABD

BDC

ACD

BAC

BDC

BAC

BDC















 



 











c)

Vì

BHCD

là hình bình hành nên

BC

cắt

HD

tại trung điểm của mỗi đường

ta có:

M

là trung điểm của

BC

6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

M



là trung điểm của

HD

;

;

H M D



thẳng hàng.

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.

Bài 5. Cho hình bình hành

ABCD

có

,

E F

lần lượt là trung điểm

,

.

AB CD

a)

CMR:

/ /

.

AF

EC

b)

CMR:

.

ED

BF



c)

Gọi

O

là giao điểm của

AC

và BD . CMR:

,

,

E O F thẳng hàng.

d)

AF

cắt

ED

tại

,

G BF cắt

EC

tại

H

. CMR:

,

,

G O H thẳng hàng.

e)

CMR:

/ /

GH

CD

.

f)

Giả sử

4

AB

cm



. Tìm

GH

?

Hướng dẫn giải

a)

Vì

ABCD

là hình bình hành nên

AB

CD



;

E F

Là trung điểm của

;

AB CD

AE

CF

BE

DF









Xét tứ giác

AECF

có:

(do

)

AE

FC

AB CD

AE

FC







AECF



Là hình bình hành (dhnb)

AF

CE





.

b)

Chứng minh tương tự ta có

BEDF

là hình bình hành

ED

BF





.

c)

Có





AC

BD

O





O

Là trung điểm của

AC

và

BD

(t/c hbh)

Ta có:

EO

là đường trung bình của

ABC

EO BC







OF

Là đường trung bình của

DBC

OF

BC







;

;

E O F



Thẳng hàng ( tiền đề o’clit)

d)

Chứng minh được

;

OG

là đường trung bình của

(1)

EDF

GO DF

GO DC











OH là đường trung bình của

EFC



(2)

OH

FC

OH

DC









Từ (1) và (2)

OH

GO





(tiền đề o’clit)

7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

;

;

O H G



thẳng hàng.

e)

4

AB

CD

cm





Chứng minh được

GH

là đường trung bình của

DEC



1

1

.4

2

2

2

GH

DC

cm









.

Bài 6. Cho hình bình hành

ABCD

. Lấy

,

N

AB M CD





sao cho

AN

CM



.

a)

CMR:

/ /

.

AM

CN

b)

CMR:

.

DN

BM



c)

CMR:

,

,

AC BD MN đồng quy.

Hướng dẫn giải

a)

Xét tứ giác ABCD, có

(do

)

AN

CM

AN

CM

AB

CD







ANCM



Là hình bình hành

AM CN





.

b)

Ta có:

BN

AB

AN

DM

DC

CM









Mà

,

AB

DC AN

CM





BN

DM





Mà

BN

DM



(do

AB

CD



)

BNDM



là hình bình hành

DN

BM





.

c)

Gọi





(1)

AC

BD

O





O



Là trung điểm của

AC

và

BD

Ta có

ANCM

là hình bình hành;

O

là trung điểm của đường chéo

AC

O



Là trung điểm của

MN

(2)

O

MN

 

Từ (1) và (2)

,

,

AC BD MN



đồng quy.

C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN CB-NC

Dạng 1. Vận dụng tính chất của hình bình hành để chứng minh tính chất hình học

1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điếm của AD, F là trung điểm của BC. Chứng minh:

a) BE = DF và





;

ABE

CDF



b) BE // DF.

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Gọi M v à

N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:

a)



ADM =



CBN;

b)





MAC

NCA



và IM//CN;

c) DM = MN = NB.

Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành

Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình bình hành.

3. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vuông góc với BD ở H và ở K. Chứng

minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

4. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua điểm O, vẽ đường

thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ đưòng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD

lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là hình bình hành.

Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.

5. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng

các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.

6. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm

I sao cho AK = CI. Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng.

Dạng 4.Tổng hợp

7. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia phân giác của góc

B cắt CD ở F.

a) Chứng minh DE//BE.

b) Tứ giác DEBF là hình gì?

8. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F

và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF, chứng minh:

a) Tam giác AED cân;

b) AD là phân giác của góc A.

9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I, K

là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh:

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

10. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với

AC tại C cắt nhau ở D.

a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.

b) Tính số đo góc



BDC , biết



BAC = 60°.

11. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB. Nối E với trung điểm

M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?

c) Chứng minh





2

.

BAD

AEM



HƯỚNG DẪN

1.

a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành  BE = DF và





EBF

CDF



.

Cách khác: AEB = CFD (c.g.c) suy ra BE = DF và





ABE

CDF



.

b) Vì BEDF hình bình hành  ĐPCM.

2.a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành  ADI = CBK (c-

c-c-)  ADM = CBN (g-c-g)

b) Vì AKCI là hình bình hành  ĐPCM.

c) Từ câu a)  DM= NB. Mặt khác MN = NB (định lý 1 của đường

trung bình), từ đó suy ra ĐPCM.

3. Ta chứng minh AH//CK, AH = CK (AHD = CKB)  AHCK

là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

4. Ta có AOK = COH  OK =OH, DOE = BOF  OE = OF

 EHFK là hình bình hành.

5. Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN =

1

2

OB 

DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh LMEF là hình bình

hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng quy tại I.

6. Chứng minh được AKCI là hình bình hành  ĐPCM.

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

7.a) Ta có





AED

EDC



và





/ /

ABF

EDC

DE

BF





(có góc ở vị

trí đồng vị bằng nhau).

b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành.

8.a) Chứng minh BDEF là hình bình hành  ED= BF = AE  AED

cân ở E.

b) Ta có





BAD

DAC



(vì cùng bằng



ADE

)  AD là phân giác Â.

9. Tương tự bài 5.

10. a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.

b)

Tứ

giác

ABCD

có





0

90

ABD

ACD





mà



0

60

BAC 

nên



0

120

BDC 

11.

a) Ta có MNCD là hình bình hành.

b) Chứng minh được F trung điểm CE  EMC cân tại M.

c) Chứng minh được













AEM FME

FMC

CMD

DCM MCB











mà

AE//MF nên



 



2

2

BAD

FMD

CMD

AEM







.

C.DẠNG BÀI NÂNG CAO



Tính chất hình bình hành

Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác

ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC

vuông góc với nhau.

Bài 2. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A,

tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

Bài 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn





3

2





HA

HB

HC

.

Bài 4. Cho hình thang cân







ABCD AB CD

và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có

một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình

thang cân.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua

các đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại

,

,

,









A B C D

. Chứng

minh rằng

.















AA

CC

BB

DD

Bài 6. Cho hình bình hành







ABCD AD

AB

. Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B

và tam giác ADN cân tại D sao cho





.



ABM

ADN

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

a) Chứng minh rằng

;



CM

CN

b) Trên AC lấy một điểm O. Hãy so sánh OM với ON.



Nhận biết hình bình hành

Bài 7. Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có

đường chéo



BD PQ

và



BD

PQ

. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một

điểm cố định.

Bài 8. Trong tất cả các tứ giác với hai đường chéo có độ dài m và n cho trước và góc xen giữa hai

đường chéo có độ lớn



cho trước hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.



Dựng hình bình hành

Bài 9. Cho tam giác ABC. Dựng điểm



M

AB

, điểm



N

AC

sao cho



MN

BC

và



BM

AN

.

Bài 10. Dựng hình bình hành ABCD biết vị trí các điểm A và vị trí các trung điểm M, N của BC và

CD.

Hướng dẫn giải

Bài 1. (h.4.6)

Vẽ hình bình hành DAEF. Khi đó AF đi qua M.

Gọi H là giao điểm của MA với BC.

Ta có:

.





EF

AD

AB





180







AEF

DAE

mà





180







BAC

DAE

nên





.



AEF

BAC









1

1

.

.

.

AEF

CAB g c g

A

C



 





Ta có:











1

2

1

2

90

90

90 .





 





 





A

A

C

A

H

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Do đó:

.



MA

BC

Bài 2. (h.4.7)

Ta đặt







ADC

thì





90

;

90

.



 



 





DAM

NCD

DAM



và

NCD



có:













;

90

;









 



AM

CD

AB

DAM

NCD





.





AD

CN

BC

Do đó





.

.

DAM

NCD c g c



 





DM

DN

(1)

và

 

.



DMA

NDC

Kéo dài MA cắt CD tại H. Ta có:

.







MA

AB

MH

CD

Xét

MDH



có





90











DMA

ADM





90













NDC

ADM

Hay



90





MDN

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

DMN



vuông cân tại D

Bài 3. (H.4.8)

Vẽ









,

.









HM AC M

AB

HN

AB N

AC

Vì



CH

AB

nên



CH

HN

. Vì



BH

AC

nên

.



BH

HM

Xét

HBM



vuông tại H có

.



BM

HB

(1)

Xét

HCN



vuông tại H có



CN

HC

. (2)

Xét hình bình hành ANHM có

.









AM

AN

AM MH

HA

. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:













BM CN

AM

AN

HB

HC

HA

do đó





















MB

AM

CN

AN

HA

HB

HC

hay

.









AB

AC

HA

HB

HC

Chứng minh tương tự, ta được:









BC

BA

HA

HB

HC

13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

.









CA

CB

HA

HB

HC

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:









2

3











AB

BC

CA

HA

HB

HC

Do đó





3

.

2











AB

BC

CA

HA

HB

HC

Bài 4. (h.4.9)

Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G. Qua O dựng một

đường thẳng song song với CD cắt AD tại H.

Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F.

Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân.

;

.







OA

EH OD

HG

(1)

Tứ giác EFCO là hình bình hành





OC

EF

(2)

và



OE

CF

. Suy ra



OG

BF

Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành

.





OB

GF

(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Bài 5. (h.4.10)

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ

.





OO

xy

Ta có:

.



















AA

BB

CC

DD

OO

Xét hình thang





AA C C

có



OA

OC

và







OO

AA

nên

.











O A

O C

Do đó



OO

là đường trung bình của

hình thang

2

















AA

CC

AA C C

OO

hay

2

.











AA

CC

OO

Xét hình thang





DD B B

, cũng chứng minh tương tự, ta có:

2

.











BB

DD

OO

Từ đó suy ra:

.















AA

CC

BB

DD

14. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Bài 6. (h.4.11)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên





.



ABC

ADC

Ta đặt





,

,









ABC

m ABM

n

khi đó









  

MBC

CDN

m

n

MBC



và

CDN



có:









;







MB

CD

AB

MBC

CDN

(chứng minh trên);





.





BC

DN

AD

Vậy





.

.

.

MBC

CDN c g c

CM

CN



 





b) Các

ABM



và

AND



là những tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau mà



AB

AD

nên



AM

AN

(bạn đọc tự chứng minh)

Xét

ACM



và

CAN



có



CM

CN

; CA chung và



AM

AN

nên





.



ACM

ACN

Xét

OCM



và

OCN



có



CM

CN

; CO chung và







ACM

ACN nên

.



OM

ON

Bài 7. (h.4.15)

Qua A vẽ đường thẳng

.



xy

PQ

Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N sao cho

.





AM

AN

PQ

Như vậy các điểm M và N cố định.

Tứ giác AMBD có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau

nên là hình bình hành

.





BM AD

Mặt khác,



BC

AD

nên ba điểm B, M, C thẳng hàng (tiên đề Ơ-

clit)

Do đó đường thẳng BC đi qua điểm cố định M.

Chứng minh tương tự, ta được đường thẳng CD đi qua điểm cố

định N.

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Bài 8. (h.4.16)

Xét tứ giác ABCD có

,





AC

m BD

n

và



.





BOC

Vẽ hình bình hành ADBE và vẽ hình bình hành CAEF.

Khi đó:

;

;











EF

AC

m CF

AE

BD

n





.







EAC

BOC

Như vậy hình bình hành CAEF hoàn toàn được xác định, do đó

hai đường chéo AF và CE không đổi.

Dễ thấy tứ giác BFCD là hình bình hành

.





BF

CD

Chu vi tứ giác ABCD là:

















.



















AB

CD

BC

AD

AB

BF

BC

BE

AF

CE

Dấu

"

"



xảy ra

,

,

,

,









A B F

C B E













AB CD

AD BC

 ABCD

là hình bình hành.

Vậy chu vi của tứ giác ABCD nhỏ nhất khi và chỉ khi ABCD là hình bình hành.

Bài 9. (h.4.17)

a) Phân tích

Giả sử đã dựng được



MN

BC

sao cho

.



BM

AN

Vẽ









ND AB D

BC

Tứ giác MNDB là hình bình hành





DN

BM

mà



BM

AN

nên





DN

AN

NAD



cân





2

1

.





A

D

Mặt khác,





1

1



A

D

(so le trong) nên





1

2

.



A

A

Do đó AD là đường phân giác của góc A.

Điểm D dựng được suy ra các điểm N và M cũng dựng được.

b) Cách dựng

- Dựng đường phân giác AD của tam giác ABC.

- Dựng





.





DN

AB N

AC

- Dựng





.





NM BC M

AB

Các bước còn lại, bạn đọc tự giải.

thẳng hàng

thẳng hàng

16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Bài 10. (h.4.18)

a) Phân tích

Giả sử đã dựng được hình bình hành thỏa mãn đề bài.

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo và K là giao điểm

của MN và AC.

Xét

CBD



có MN là đường trung bình,

.



MN

BD

Xét

COB



có



MB

MC

và



MK

OB

nên

.



CK

KO

Vậy MK là đường trung bình nên

1

.

2

MK

OB



Chứng minh tương tự, ta được

1

.

2



KN

OD

Mặt khác,



OB

OD

nên

.



KM

KN

Vậy điểm K là trung điểm của MN xác định được.

Dễ thấy

1

1

1

2

2

4











OK

KC

OC

OA

KC

AC

suy ra

1

.

3



KC

KA

Điểm C nằm trên tia đối của tia KA và cách K một khoảng

1

.

3

AK

Điểm C xác định được thì các điểm B và D cũng xác định được.

b) Cách dựng

- Dựng đoạn thẳng MN.

- Dựng trung điểm K của MN.

- Dựng tia AK.

- Trên tia đối của tia KA dựng điểm C sao cho

1

.

3



KC

KA

- Dựng điểm B sao cho M là trung điểm của CB.

- Dựng điểm D sao cho N là trung điểm của CD.

- Dựng các đoạn thẳng AB, AD ta được hình bình hành phải dựng.

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========