.png)
TỔNG HỢP KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9
PHẦN I – ĐẠI SỐ
A. Ki
ế
n th
ứ
c c
ầ
n nh
ớ
.
1. §iÒu kiÖn ®Ó c¨n thøc cã nghÜa.
A
cã nghÜa khi A
0
2. C¸c c«ng thøc biÕn ®æi c¨n thøc.
a.
2
A
A
b.
.
(
0;
0)
AB
A
B
A
B
c.
(
0;
0)
A
A
A
B
B
B
d.
2
(
0)
A B
A
B
B
e.
2
(
0;
0)
A B
A B
A
B
2
(
0;
0)
A B
A B
A
B
f.
1
(
0;
0)
A
AB
AB
B
B
B
i.
(
0)
A
A B
B
B
B
k.
2
2
(
)
(
0;
)
C
C
A
B
A
A
B
A
B
A
B
m.
2
(
)
(
0;
0;
)
C
C
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
3. Hµm sè y = ax + b (a
0)
- TÝnh chÊt:
+ Hµm sè ®ång biÕn trªn R khi a > 0.
+ Hµm sè nghÞch biÕn trªn R khi a < 0.
- §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®-êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(0;b); B(-b/a;0).
4. Hµm sè y = ax
2
(a
0)
- TÝnh chÊt:
+ NÕu a > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 vµ ®ång biÕn khi x > 0.
+ NÕu a < 0 hµm sè ®ång biÕn khi x < 0 vµ nghÞch biÕn khi x > 0.
- §å thÞ:
§å thÞ lµ mét ®-êng cong Parabol ®i qua gèc to¹ ®é O(0;0).
+ NÕu a > 0 th× ®å thÞ n»m phÝa trªn trôc hoµnh.
+ NÕu a < 0 th× ®å thÞ n»m phÝa d-íi trôc hoµnh.
5. VÞ trÝ t
ư
¬ng ®èi cña hai ®
ư
êng th¼ng
XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d')
(d) vµ (d') c¾t nhau
a
a'
(d) // (d')
a = a' vµ b
b'
(d)
(d')
a = a' vµ b = b'
6. VÞ trÝ t
ư
¬ng ®èi cña ®
ư
êng th¼ng vµ ®
ư
êng cong.
XÐt ®-êng th¼ng y = ax + b (d) vµ y = ax
2
(P)
(d) vµ (P) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm
2
(d) tiÕp xóc víi (P) t¹i mét ®iÓm
(d) vµ (P) kh«ng cã ®iÓm chung
7. Ph
ư
¬ng tr×nh bËc hai.
XÐt ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0)
C«ng thøc nghiÖm
C«ng thøc nghiÖm thu gän
= b
2
- 4ac
NÕu
> 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
;
a
b
x
2
2
NÕu
= 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
a
b
x
x
2
2
1
NÕu
< 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
' = b'
2
- ac víi b = 2b'
-
NÕu
' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm
ph©n biÖt:
a
b
x
'
'
1
;
a
b
x
'
'
2
- NÕu
' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:
a
b
x
x
'
2
1
- NÕu
' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
8. HÖ thøc Viet vµ øng dông.
- HÖ thøc Viet:
NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) th×:
1
2
1
2
.
b
S
x
x
a
c
P
x x
a
- Mét sè øng dông:
+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta gi¶i ph-¬ng tr×nh:
x
2
- Sx + P = 0
(§iÒu kiÖn S
2
- 4P
0)
+ NhÈm nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0)
NÕu a + b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:
x
1
= 1 ; x
2
=
c
a
NÕu a - b + c = 0 th× ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm:
x
1
= -1 ; x
2
=
c
a
9. Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph
ư
¬ng tr×nh, hÖ ph
ư
¬ng tr×nh
B-íc 1
: LËp ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 2
: Gi¶i ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh
B-íc 3
: KiÓm tra c¸c nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoÆc hÖ ph-¬ng tr×nh nghiÖm
nµo thÝch hîp víi bµi to¸n vµ kÕt luËn
B. Các dạng bài tập
D¹ng 1:
Rút gọn biểu thức
Bµi to¸n:
Rót gän biÓu thøc A
§Ó rót gän biÓu thøc A ta thùc hiÖn c¸c b-íc sau:
- Quy ®ång mÉu thøc
(nÕu cã)
3
- §
ư
a bít thõa sè ra ngoµi c¨n thøc
(nÕu cã)
- Trôc c¨n thøc ë mÉu
(nÕu cã)
- Thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh: luü thõa, khai c¨n, nh©n chia....
- Céng trõ c¸c sè h¹ng ®ång d¹ng.
D¹ng 2:
Bài toán tính toán
Bµi to¸n 1
: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A.
TÝnh A mµ kh«ng cã ®iÒu kiÖn kÌm theo ®ång nghÜa víi bµi to¸n
Rót gän
biÓu thøc A
Bµi to¸n 2:
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A(x) biÕt x = a
C¸ch gi¶i:
- Rót gän biÓu thøc A(x).
- Thay x = a vµo biÓu thøc rót gän.
D¹ng 3: Ch
ứ
ng minh
đẳ
ng th
ứ
c
Bµi to¸n :
Chøng minh ®¼ng thøc A = B
Mét sè ph
ư
¬ng ph¸p chøng minh:
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 1
: Dùa vµo ®Þnh nghÜa.
A = B
A - B = 0
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 2
: BiÕn ®æi trùc tiÕp.
A = A
1
= A
2
= ... = B
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 3
: Ph
ư
¬ng ph¸p so s¸nh.
A = A
1
= A
2
= ... = C
B = B
1
= B
2
= ... = C
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 4
: Ph
ư
¬ng ph¸p t
ư
¬ng ®
ư
¬ng.
A = B
A' = B'
A" = B"
......
(*)
(*) ®óng do ®ã A = B
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 5
: Ph
ư
¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 6
: Ph
ư
¬ng ph¸p quy n¹p.
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 7
: Ph
ư
¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 4: Ch
ứ
ng minh b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c
Bµi to¸n:
Chøng minh bÊt ®¼ng thøc A > B
Mét sè bÊt ®¼ng thøc quan träng:
- BÊt ®¼ng thøc Cosi:
n
n
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
...
.
.
...
3
2
1
3
2
1
(víi
0
...
.
.
3
2
1
n
a
a
a
a
)
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi:
n
a
a
a
a
...
3
2
1
- BÊt ®¼ng thøc BunhiaC«pxki:
Víi mäi sè a
1
; a
2
; a
3
;
…
; a
n
; b
1
; b
2
; b
3
;
…
b
n
)
...
)(
...
(
...
2
2
3
2
2
2
1
2
2
3
2
2
2
1
2
3
3
2
2
1
1
n
n
n
n
b
b
b
b
a
a
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi:
n
n
b
a
b
a
b
a
b
a
...
3
3
2
2
1
1
Mét sè ph-¬ng ph¸p chøng minh:
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 1
: Dùa vµo ®Þnh nghÜa
A > B
A - B > 0
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 2
: BiÕn ®æi trùc tiÕp
A = A
1
= A
2
= ... = B + M
2
> B nÕu M
0
A = B
4
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 3
: Ph
ư
¬ng ph¸p t
ư
¬ng ®
ư
¬ng
A > B
A' > B'
A" > B"
......
(*)
(*) ®óng do ®ã A > B
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 4
: Ph
ư
¬ng ph¸p dïng tÝnh chÊt b¾c cÇu
A > C vµ C > B
A > B
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 5
: Ph
ư
¬ng ph¸p ph¶n chøng
§Ó chøng minh A > B ta gi¶ sö B > A vµ dïng c¸c phÐp biÕn ®æi t
ư
¬ng ®
ư
¬ng
®Ó dÉn ®Õn ®iÒu v« lÝ khi ®ã ta kÕt luËn A > B.
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 6
: Ph
ư
¬ng ph¸p sö dông gi¶ thiÕt.
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 7
: Ph
ư
¬ng ph¸p quy n¹p.
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 8
: Ph
ư
¬ng ph¸p dïng biÓu thøc phô.
D¹ng 5:
Bài toán liên quan đến phương trình bậc hai
Bµi to¸n 1:
Gi¶i ph
ư
¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0)
C¸c ph
ư
¬ng ph¸p gi¶i:
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 1
: Ph©n tÝch ®
ư
a vÒ ph
ư
¬ng tr×nh tÝch.
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 2
: Dïng kiÕn thøc vÒ c¨n bËc hai
x
2
= a
x =
a
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 3
: Dïng c«ng thøc nghiÖm
Ta cã
= b
2
- 4ac
+ NÕu
> 0 : Ph
ư
¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
;
a
b
x
2
2
+ NÕu
= 0 : Ph
ư
¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a
b
x
x
2
2
1
+ NÕu
< 0 : Ph
ư
¬ng tr×nh v« nghiÖm
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 4
: Dïng c«ng thøc nghiÖm thu gän
Ta cã
' = b'
2
- ac víi b = 2b'
+ NÕu
' > 0 : Ph
ư
¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
'
'
1
;
a
b
x
'
'
2
+ NÕu
' = 0 : Ph
ư
¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp
a
b
x
x
'
2
1
+ NÕu
' < 0 : Ph
ư
¬ng tr×nh v« nghiÖm
-
Ph
ư
¬ng ph¸p 5
: NhÈm nghiÖm nhê ®Þnh lÝ Vi-et.
NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph
ư
¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a
0) th×:
a
c
x
x
a
b
x
x
2
1
2
1
.
Chó ý: NÕu a, c tr¸i dÊu tøc lµ a.c < 0 th× ph-¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n
biÖt.
Bµi to¸n 2:
BiÖn luËn theo m sù cã nghiÖm cña ph
ư
¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ).
XÐt hÖ sè a: Cã thÓ cã 2 kh¶ n¨ng
5
a. Tr
ư
êng hîp a = 0 víi vµi gi¸ trÞ nµo ®ã cña m.
Gi¶ sö a = 0
m = m
0
ta cã:
(*) trë thµnh ph-¬ng tr×nh bËc nhÊt ax + c = 0 (**)
+ NÕu b
0 víi m = m
0
: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b
+ NÕu b = 0 vµ c = 0 víi m = m
0
: (**) v« ®Þnh
(*) v« ®Þnh
+ NÕu b = 0 vµ c
0 víi m = m
0
: (**) v« nghiÖm
(*) v« nghiÖm
b. Tr-êng hîp a
0: TÝnh
hoÆc
'
+ TÝnh
= b
2
- 4ac
NÕu
> 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
;
a
b
x
2
2
NÕu
= 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :
a
b
x
x
2
2
1
NÕu
< 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
+ TÝnh
' = b'
2
- ac víi b = 2b'
NÕu
' > 0 : Ph-¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
'
'
1
;
a
b
x
'
'
2
NÕu
' = 0 : Ph-¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:
a
b
x
x
'
2
1
NÕu
' < 0 : Ph-¬ng tr×nh v« nghiÖm
- Ghi tãm t¾t phÇn biÖn luËn trªn.
Bµi to¸n 3:
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c =
0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã nghiÖm.
Cã hai kh¶ n¨ng ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 cã nghiÖm:
1. HoÆc a = 0, b
0
2. HoÆc a
0,
0 hoÆc
'
0
TËp hîp c¸c gi¸ trÞ m lµ toµn bé c¸c gi¸ trÞ m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 1 hoÆc ®iÒu
kiÖn 2.
Bµi to¸n 4:
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c
= 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã 2 nghiÖm ph©n biÖt.
§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ph©n biÖt
0
0
a
hoÆc
0
0
'
a
Bµi to¸n 5:
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c =
0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã 1 nghiÖm.
§iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:
0
0
b
a
hoÆc
0
0
a
hoÆc
0
0
'
a
Bµi to¸n 6:
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c
= 0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã nghiÖm kÐp.
§iÒu kiÖn cã nghiÖm kÐp:
0
0
a
hoÆc
0
0
'
a
Bµi to¸n 7:
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c
= 0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m )
v« nghiÖm.
6
§iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:
0
0
a
hoÆc
0
0
'
a
Bµi to¸n 8:
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c =
0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã 1 nghiÖm.
§iÒu kiÖn cã mét nghiÖm:
0
0
b
a
hoÆc
0
0
a
hoÆc
0
0
'
a
Bµi to¸n 9 :
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c
= 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã hai nghiÖm cïng dÊu.
§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm cïng dÊu:
0
0
a
c
P
hoÆc
0
0
'
a
c
P
Bµi to¸n 10 :
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx +
c = 0
(a, b, c phô thuéc tham sè m)
cã 2 nghiÖm d-¬ng.
§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm d-¬ng:
0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoÆc
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 11 :
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx +
c = 0
( trong ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m )
cã 2 nghiÖm ©m.
§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm ©m:
0
0
0
a
b
S
a
c
P
hoÆc
0
0
0
'
a
b
S
a
c
P
Bµi to¸n 12 :
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx +
c = 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m)
cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu.
§iÒu kiÖn cã hai nghiÖm tr¸i dÊu:
P < 0 hoÆc a vµ c tr¸i dÊu.
Bµi to¸n 13 :
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx +
c = 0 (*)
( a, b, c phô thuéc tham sè m)
cã mét nghiÖm x = x
1
.
C¸ch gi¶i:
- Thay x = x
1
vµo ph-¬ng tr×nh (*) ta cã: ax
1
2
+ bx
1
+ c = 0
m
- Thay gi¸ trÞ cña m vµo (*)
x
1
, x
2
- HoÆc tÝnh x
2
= S - x
1
hoÆc x
2
=
1
x
P
Bµi to¸n 14 :
T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè m ®Ó ph-¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx +
c = 0
( a, b, c phô thuéc tham sè m)
cã 2 nghiÖm x
1
, x
2
tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn:
a.
2
1
x
x
b.
k
x
x
2
2
2
1
c.
n
x
x
2
1
1
1
d.
h
x
x
2
2
2
1
e.
t
x
x
3
2
3
1
7
§iÒu kiÖn chung:
0 hoÆc
'
0 (*)
Theo ®Þnh lÝ Viet ta cã:
)
2
(
.
)
1
(
2
1
2
1
P
a
c
x
x
S
a
b
x
x
a. Tr-êng hîp:
2
1
x
x
Gi¶i hÖ
2
1
2
1
x
x
a
b
x
x
Thay x
1
, x
2
vµo (2)
m
Chän c¸c gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*)
b. Tr-êng hîp:
k
x
x
x
x
k
x
x
2
1
2
2
1
2
2
2
1
2
)
(
Thay x
1
+ x
2
= S =
a
b
vµ x
1
.x
2
= P =
a
c
vµo ta cã:
S
2
- 2P = k
T×m ®-îc gi¸ trÞ cña m tho¶ m·n (*)
c. Tr-êng hîp:
nc
b
x
nx
x
x
n
x
x
2
1
2
1
2
1
.
1
1
Gi¶i ph-¬ng tr×nh - b = nc t×m ®-îc m tho¶ m·n (*)
d. Tr-êng hîp:
0
2
2
2
2
2
1
h
P
S
h
x
x
Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh S
2
- 2P - h
0 chän m tho¶ m·n (*)
e. Tr-êng hîp:
t
PS
S
t
x
x
3
3
3
2
3
1
Gi¶i ph-¬ng tr×nh
t
PS
S
3
3
chän m tho¶ m·n (*)
Bµi to¸n 15 :
T×m hai sè u vµ v biÕt tæng u + v = S vµ tÝch u.v = P cña chóng.
Ta cã u vµ v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh:
x
2
- Sx + P = 0 (*)
(§iÒu kiÖn S
2
- 4P
0)
Gi¶i ph-¬ng tr×nh (*) ta t×m ®-îc hai sè u vµ v cÇn t×m.
Néi dung 6:
Giải phương trình, bất phương trình
Bµi to¸n1:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh trïng ph-¬ng ax
4
+ bx
2
+ c = 0
§Æt t = x
2
(t
0) ta cã ph-¬ng tr×nh at
2
+ bt + c = 0
Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc hai Èn t sau ®ã thay vµo t×m Èn x
B¶ng tãm t¾t
at
2
+ bt + c = 0
ax
4
+ bx
2
+ c = 0
v« nghiÖm
v« nghiÖm
2 nghiÖm ©m
v« nghiÖm
nghiÖm kÐp ©m
v« nghiÖm
1 nghiÖm d-¬ng
2 nghiÖm ®èi nhau
2 nghiÖm d-¬ng
4 nghiÖm
2 cÆp nghiÖm ®èi nhau
x
1
, x
2
8
Bµi to¸n 2:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh
0
)
1
(
)
1
(
2
2
C
x
x
B
x
x
A
§Æt
x
x
1
= t
x
2
- tx + 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
)
2
=
2
1
2
2
x
x
2
1
2
2
2
t
x
x
Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã:
A(t
2
- 2) + Bt + C = 0
At
2
+ Bt + C - 2A = 0
Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo
x
x
1
= t gi¶i t×m x.
Bµi to¸n 3:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh
0
)
1
(
)
1
(
2
2
C
x
x
B
x
x
A
§Æt
x
x
1
= t
x
2
- tx - 1 = 0
Suy ra t
2
= (
x
x
1
)
2
=
2
1
2
2
x
x
2
1
2
2
2
t
x
x
Thay vµo ph-¬ng tr×nh ta cã:
A(t
2
+ 2) + Bt + C = 0
At
2
+ Bt + C + 2A = 0
Gi¶i ph-¬ng tr×nh Èn t sau ®ã thÕ vµo
x
x
1
= t gi¶i t×m x.
Bµi to¸n 4:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh bËc cao
Dïng c¸c phÐp biÕn ®æi ®-a ph-¬ng tr×nh bËc cao vÒ d¹ng:
+ Ph-¬ng tr×nh tÝch
+ Ph-¬ng tr×nh bËc hai.
Néi dung 7:
Giải hệ phương trình
Bµi to¸n:
Gi¶i hÖ ph-¬ng tr×nh
'
'
'
c
y
b
x
a
c
by
ax
C¸c ph-¬ng ph¸p gi¶i:
+ Ph-¬ng ph¸p ®å thÞ
+ Ph-¬ng ph¸p céng
+ Ph-¬ng ph¸p thÕ
+ Ph-¬ng ph¸p ®Æt Èn phô
Néi dung 7:
Giải phương trình vô tỉ
Bµi to¸n 1:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng
)
(
)
(
x
g
x
f
(1)
Ta cã
)
3
(
)
(
)
(
)
2
(
0
)
(
)
(
)
(
2
x
g
x
f
x
g
x
g
x
f
Gi¶i (3) ®èi chiÕu ®iÒu kiÖn (2) chän nghiÖm thÝch hîp
nghiÖm cña (1)
Bµi to¸n 2:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng
)
(
)
(
)
(
x
g
x
h
x
f
9
§iÒu kiÖn cã nghÜa cña ph-¬ng tr×nh
0
)
(
0
)
(
0
)
(
x
g
x
h
x
f
Víi ®iÒu kiÖn trªn tho¶ m·n ta b×nh ph-¬ng hai vÕ ®Ó gi¶i t×m x.
Néi dung 8
: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bµi to¸n:
Gi¶i ph-¬ng tr×nh d¹ng
)
(
)
(
x
g
x
f
Ph-¬ng ph¸p 1:
)
(
)
(
x
g
x
f
2
2
)
(
)
(
0
)
(
x
g
x
f
x
g
Ph-¬ng ph¸p 2:
XÐt f(x)
0
f(x) = g(x)
XÐt f(x) < 0
- f(x) = g(x)
Ph-¬ng ph¸p 3:
Víi g(x)
0 ta cã f(x) =
g(x)
Néi dung 9:
Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bµi to¸n:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè y = f(x)
Ph-¬ng ph¸p 1: Dùa vµo luü thõa bËc ch½n.
- BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:
y = M - [g(x)]
2n
,
n
Z
y
M
Do ®ã y
max
= M khi g(x) = 0
- BiÕn ®æi hµm sè y = f(x) sao cho:
y = m + [h(x)]
2k
k
Z
y
m
Do ®ã y
min
= m khi h(x) = 0
Ph-¬ng ph¸p 2: Dùa vµo tËp gi¸ trÞ hµm.
Ph-¬ng ph¸p 3: Dùa vµo ®¼ng thøc.
Néi dung 10:
Các bài toán liên quan đến hàm số
*
Đ
i
ể
m thu
ộ
c
đồ
th
ị
Bµi to¸n:
Cho (C) lµ ®å thÞ cña hµm sè y = f(x) vµ mét ®iÓm A(x
A
;y
A
). Hái (C)
cã ®i qua A kh«ng?
§å thÞ (C) ®i qua A(x
A
;y
A
) khi vµ chØ khi to¹ ®é cña A nghiÖm ®óng ph-¬ng
tr×nh cña (C)
A
(C)
y
A
= f(x
A
)
Dã ®ã tÝnh f(x
A
)
NÕu f(x
A
) = y
A
th× (C) ®i qua A.
NÕu f(x
A
)
y
A
th× (C) kh«ng ®i qua A.
* S
ự
t
ươ
ng giao c
ủ
a hai
đồ
th
ị
Bµi to¸n :
Cho (C) vµ (L) theo thø tù lµ ®é thÞ hµm sè
y = f(x) vµ y = g(x)
H·y kh¶o s¸t sù t-¬ng giao cña hai ®å thÞ
To¹ ®é ®iÓm chung cña (C) vµ (L) lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é
®iÓm chung:
f(x) = g(x) (*)
- NÕu (*) v« nghiÖm th× (C) vµ (L) kh«ng cã ®iÓm chung.
- NÕu (*) cã nghiÖm kÐp th× (C) vµ (L) tiÕp xóc nhau.
- NÕu (*) cã 1 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 1 ®iÓm chung.
- NÕu (*) cã 2 nghiÖm th× (C) vµ (L) cã 2 ®iÓm chung.
*
Lập phương trình đường thẳng
10
Bµi to¸n 1:
LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(x
A
;y
A
) vµ cã
hÖ sè gãc b»ng k.
Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b (*)
- X¸c ®Þnh a: ta cã a = k
- X¸c ®Þnh b: (D) ®i qua A(x
A
;y
A
) nªn ta cã y
A
= kx
A
+ b
b = y
A
- kx
A
- Thay a = k; b = y
A
- kx
A
vµo (*) ta cã ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 2:
LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(x
A
;y
A
);
B(x
B
;y
B
)
Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = ax + b
(D) ®i qua A vµ B nªn ta cã:
b
ax
y
b
ax
y
B
B
A
A
Gi¶i hÖ ta t×m ®-îc a vµ b suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 3:
LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) cã hÖ sè gãc k vµ tiÕp xóc
víi ®-êng cong (C): y = f(x)
Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b
Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*)
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp. Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc b
vµ suy ra ph-¬ng tr×nh cña (D)
Bµi to¸n 3:
LËp ph-¬ng tr×nh cña ®-êng th¼ng (D) ®i qua ®iÓm A(x
A
;y
A
) k vµ
tiÕp xóc víi ®-êng cong (C): y = f(x)
Ph-¬ng tr×nh tæng qu¸t cña ®-êng th¼ng (D) lµ : y = kx + b
Ph-¬ng tr×nh hoµnh ®é ®iÓm chung cña (D) vµ (P) lµ:
f(x) = kx + b (*)
V× (D) tiÕp xóc víi (P) nªn (*) cã nghiÖm kÐp.
Tõ ®iÒu kiÖn nµy ta t×m ®-îc hÖ thøc liªn hÖ gi÷a a vµ b (**)
MÆt kh¸c: (D) qua A(x
A
;y
A
) do ®ã ta cã y
A
= ax
A
+ b (***)
Tõ (**) vµ (***)
a vµ b
Ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng (D).
PHẦN II – HÌNH HỌC
A. Kiến thức cần nhớ
1. HÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng.
b
2
= ab' c
2
= ac'
h
2
= b'c'
ah = bc
a
2
= b
2
+ c
2
2
2
2
1
1
1
c
b
h
2. TØ sè l-îng gi¸c cña gãc nhän.
0 < sin
< 1 0 < coss
< 1
cos
sin
tg
sin
cos
cot
g
sin
2
+ cos
2
= 1
a
b'
c'
b
c
h
H
B
C
A
11
tg
.cotg
= 1
2
2
cos
1
1
tg
2
2
sin
1
cot
1
g
3. HÖ thøc vÒ c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng.
b = asinB = acosC
b = ctgB = ccotgC
c = a sinC = acosB
c = btgC = bcotg B
4. §-êng trßn.
- C¸ch x¸c ®Þnh
: Qua ba ®iÓm kh«ng th¼ng hµng ta vÏ ®-îc mét vµ chØ mét
®-êng trßn.
- T©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng
: §-êng trßn cã mét t©m ®èi xøng; cã v« sè trôc
®èi xøng.
- Quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®-êng kÝnh vµ d©y.
Trong mét ®-êng trßn
+ §-êng kÝnh vu«ng gãc víi mét d©y th× ®i qua trung ®iÓm cña d©y Êy
+ §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm cña mét d©y kh«ng ®i qua t©m th× vu«ng gãc
víi d©y Êy.
- Liªn hÖ gi÷a d©y vµ kho¶ng c¸ch tõ t©m ®Õn d©y
:
Trong mét ®-êng trßn:
+ Hai d©y b»ng nhau th× c¸ch ®Òu t©m
+ Hai d©y c¸ch ®Òu t©m th× b»ng nhau
+ D©y nµo lín h¬n th× d©y ®ã gÇn t©m h¬n
+ D©y nµo gÇn t©m h¬n th× d©y ®ã lín h¬n
- Liªn hÖ gi÷a cung vµ d©y:
Trong mét ®-êng trßn hay trong hai ®-êng trßn b»ng nhau:
+ Hai cung b»ng nhau c¨ng hai d©y b»ng nhau
+ Hai d©y b»ng nhau c¨ng hai cung b»ng nhau
+ Cung lín h¬n c¨ng d©y lín h¬n
+ D©y lín h¬n c¨ng cung lín h¬n.
- VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm chung
HÖ thøc liªn hÖ
gi÷a d vµ R
b
a
c
C
B
A
12
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn c¾t nhau
2
d < R
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn tiÕp xóc nhau
1
d = R
- §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn kh«ng giao nhau
0
d > R
-
VÞ trÝ t-¬ng ®èi cña ®-êng th¼ng vµ ®-êng trßn:
VÞ trÝ t-¬ng ®èi
Sè ®iÓm
chung
HÖ thøc liªn hÖ gi÷a d vµ
R
- Hai ®-êng trßn c¾t nhau
2
R - r < OO' < R + r
- Hai ®-êng trßn tiÕp xóc nhau
+ TiÕp xóc ngoµi
+ TiÕp xóc trong
1
OO' = R + r
OO' = R - r
- Hai ®-êng trßn kh«ng giao nhau
+ (O) vµ (O') ë ngoµi nhau
+ (O) ®ùng (O')
+ (O) vµ (O') ®ång t©m
0
OO' > R + r
OO' < R - r
OO' = 0
5. TiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn
- TÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn
: TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua tiÕp
®iÓm.
- DÊu hiÖu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:
13
+ §-êng th¼ng vµ ®-êng trßn chØ cã mét ®iÓm chung
+ Kho¶ng c¸ch tõ t©m cña ®-êng trßn ®Õn ®-êng th¼ng b»ng b¸n kÝnh
+ §-êng th¼ng ®i qua mét ®iÓm cña
®-êng trßn vµ vu«ng gãc víi b¸n kÝnh ®i qua
®iÓm ®ã.
- TÝnh chÊt cña 2 tiÕp tuyÕn c¾t nhau
MA, MB lµ hai tiÕp tuyÕn c¾t nhau th×:
+ MA = MB
+ MO lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB
+ OM lµ ph©n gi¸c cña gãc AOB
- TiÕp tuyÕn chung cña hai ®-êng trßn: lµ ®-êng th¼ng tiÕp xóc víi c¶ hai
®-êng trßn ®ã:
TiÕp tuyÕn chung ngoµi
TiÕp tuyÕn chung trong
6. Gãc víi ®-êng trßn
Lo¹i gãc
H×nh vÏ
C«ng thøc tÝnh sè ®o
1. Gãc ë t©m
AOB
sd AB
2. Gãc néi tiÕp
1
2
AMB
sd AB
3. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn
vµ d©y cung.
1
2
xBA
sd AB
B
O
A
M
d'
d
O'
O
d'
d
O'
O
B
A
O
M
B
A
O
x
B
A
O
14
4. Gãc cã ®Ønh ë bªn trong ®-êng
trßn
1
(
)
2
AMB
sd AB
sdCD
5. Gãc cã ®Ønh ë bªn ngoµi
®-êng trßn
1
(
)
2
AMB
sd AB
sdCD
Chó ý: Trong mét ®-êng trßn
- C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau ch¾n c¸c cung b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th× b»ng nhau
- C¸c gãc néi tiÕp ch¾n c¸c cung b»ng nhau th× b»ng nhau
- Gãc néi tiÕp nhá h¬n hoÆc b»ng 90
0
cã sè ®o b»ng nöa sè ®o cña gãc ë t©m
cïng ch¾n mét cung.
- Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®-êng trßn lµ gãc vu«ng vµ ng-îc l¹i gãc vu«ng néi
tiÕp th× ch¾n nöa ®-êng trßn.
- Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung vµ gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung th×
b»ng nhau.
7. §é dµi ®-êng trßn - §é dµi cung trßn.
- §é dµi ®-êng trßn b¸n kÝnh R: C = 2
R =
d
- §é dµi cung trßn n
0
b¸n kÝnh R :
180
Rn
l
8. DiÖn tÝch h×nh trßn - DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn
- DiÖn tÝch h×nh trßn: S =
R
2
- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n
0
:
2
360
2
R n
lR
S
9. C¸c lo¹i ®-êng trßn
§-êng trßn ngo¹i tiÕp tam
gi¸c
§-êng trßn néi tiÕp
tam gi¸c
§-êng trßn bµng tiÕp
tam gi¸c
T©m ®-êng trßn lµ giao
cña ba ®-êng trung trùc
cña tam gi¸c
T©m ®-êng trßn lµ giao cña ba
®-êng ph©n gi¸c trong cña
tam gi¸c
T©m cña ®-êng trßn bµng
tiÕp trong gãc A lµ giao
®iÓm cña hai ®-êng ph©n
M
D
C
B
A
O
O
B
A
D
C
M
O
C
B
A
O
C
B
A
F
E
J
B
C
A
15
gi¸c c¸c gãc ngoµi t¹i B
hoÆc C hoÆc lµ giao ®iÓm
cña ®-êng ph©n gi¸c gãc A
vµ ®-êng ph©n gi¸c ngoµi
t¹i B (hoÆc C)
10. C¸c lo¹i h×nh kh«ng gian.
a. H×nh trô.
- DiÖn tÝch xung quanh: S
xq
= 2
rh
- DiÖn tÝch toµn phÇn: S
tp
= 2
rh +
r
2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V = Sh =
r
2
h
b. H×nh nãn:
- DiÖn tÝch xung quanh: S
xq
= 2
rl
- DiÖn tÝch toµn phÇn: S
tp
= 2
rl +
r
2
- ThÓ tÝch h×nh trô: V =
2
1
r
3
h
c. H×nh nãn côt:
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq =
(r
1
+ r
2
)l
- ThÓ tÝch: V =
2
2
1
2
1
2
1
(
)
3
h r
r
r r
d. H×nh cÇu.
- DiÖn tÝch mÆt cÇu: S = 4
R
2
=
d
- ThÓ tÝch h×nh cÇu: V =
3
4
3
R
11. Tø gi¸c néi tiÕp:
DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 180
0
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét
gãc
.
B. C¸c d¹ng bµi tËp.
D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau.
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau kh¸c
- Hai gãc b»ng tæng hoÆc hiÖu cña hai gãc theo thø tù ®«i mét b»ng nhau
- Hai gãc cïng phô (hoÆc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc cïng nhän hoÆc cïng tï cã c¸c c¹nh ®«i mét song song hoÆc vu«ng
gãc
- Hai gãc ã le trong, so le ngoµi hoÆc ®ång vÞ
- Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
- Hai gãc cña cïng mé tam gi¸c c©n hoÆc ®Òu
- Hai gãc t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau hoÆc ®ång d¹ng
r: b¸n kÝnh
Trong ®ã
h: chiÒu cao
r: b¸n kÝnh
Trong ®ã
l: ®-êng sinh
h: chiÒu cao
r
1
: b¸n kÝnh d¸y lín
r
2
: b¸n kÝnh ®¸y nhá
Trong ®ã l: ®-êng sinh
h: chiÒu cao
R: b¸n kÝnh
Trong ®ã
d: ®-êng kÝnh
16
- Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung hoÆc ch¾n hai cung b»ng nhau.
D¹ng 2: Chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng nhau
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai ®o¹n th¼ng cïng b»ng ®o¹n thø ba
- Hai c¹nh cña mmét tam gi¸c c©n hoÆc tam gi¸c ®Òu
- Hai c¹nh t-¬ng øng cña hai tam gi¸c b»ng nhau
- Hai c¹nh ®èi cña h×nh b×nh hµnh (ch÷ nhËt, h×nh thoi, h×nh vu«ng)
- Hai c¹nh bªn cña h×nh thang c©n
- Hai d©y tr-¬ng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn hoÆc hai ®-êng b»ng
nhau.
D¹ng 2: Chøng minh hai ®-êng th¼ng song song
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng song song víi ®-êng th¼ng thø ba
- Chøng minh hai ®-êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi ®-êng th¼ng thø ba
- Chøng minh chóng cïng t¹o víi mét c¸t tuyÕn hai gãc b»ng nhau:
+ ë vÞ trÝ so le trong
+ ë vÞ trÝ so le ngoµi
+ ë vÞ trÝ ®ång vÞ.
- Lµ hai d©y ch¾n gi÷a chóng hai cung b»ng nhau trong mét ®-êng trßn
- Chóng lµ hai c¹nh ®èi cña mét h×nh b×nh hµnh
D¹ng 3: Chøng minh hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc
C¸ch chøng minh:
- Chóng song song song song víi hai ®-êng th¼ng vu«ng gãc kh¸c.
- Chøng minh chóng lµ ch©n ®-êng cao trong mét tam gi¸c.
- §-êng kÝnh ®i qua trung ®iÓm d©y vµ d©y.
- Chóng lµ ph©n gi¸c cña hai gãc kÒ bï nhau.
D¹ng 4: Chøng minh ba ®-êng th¼ng ®ång quy.
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh chóng lµ ba ®-êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba ph©n
gi¸c trong (hoÆc mét ph©n gi¸c trong vµ ph©n gi¸c ngoµi cña hai gãc kia)
- VËn dông ®Þnh lÝ ®¶o cña ®Þnh lÝ Talet.
D¹ng 5: Chøng minh hai tam gi¸c b»ng nhau
C¸ch chøng minh:
* Hai tam gi¸c th-êng:
- Tr-êng hîp gãc - c¹nh - gãc (g-c-g)
- Tr-êng hîp c¹nh - gãc - c¹nh (c-g-c)
- Tr-êng hîp c¹nh - c¹nh - c¹nh (c-c-c)
17
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã c¹nh huyÒn b»ng nhau vµ mét c¹nh gãc vu«ng b»ng nhau
- C¹nh gãc vu«ng ®«i mét b»ng nhau
D¹ng 6: Chøng minh hai tam gi¸c ®ång d¹ng
C¸ch chøng minh:
* Hai tam gi¸c th-êng:
- Cã hai gãc b»ng nhau ®«i mét
- Cã mét gãc b»ng nhau xen gi÷a hai c¹nh t-¬ng øng tû lÖ
- Cã ba c¹nh t-¬ng øng tû lÖ
* Hai tam gi¸c vu«ng:
- Cã mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã hai c¹nh gãc vu«ng t-¬ng øng tû lÖ
D¹ng 7: Chøng minh ®¼ng thøc h×nh häc
C¸ch chøng minh:
Gi¶ sö ph¶i chøng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*)
- Chøng minh:
MAC
MDB hoÆc
MAD
MCB
- NÕu 5 ®iÓm M, A, B, C, D cóng n»m trªn mét ®-êng th¼ng th× ph¶i chøng
minh c¸c tÝch trªn cïng b»ng tÝch thø ba:
MA.MB = ME.MF
MC.MD = ME.MF
Tøc lµ ta chøng minh:
MAE
MFB
MCE
MFD
MA.MB = MC.MD
* Tr-êng hîp ®Æc biÖt: MT
2
= MA.MB ta chøng minh
MTA
MBT
D¹ng 8: Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
C¸ch chøng minh:
DÊu hiÖu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp:
- Tø gi¸c cã tæng hai gãc ®èi b»ng 180
0
- Tø gi¸c cã gãc ngoµi t¹i mét ®Ønh b»ng gãc trong cña ®Ønh ®èi diÖn
- Tø gi¸c cã 4 ®Ønh c¸ch ®Òu mét ®iÓm.
- Tø gi¸c cã hai ®Ønh kÒ nhau cïng nh×n c¹nh chøa hai ®Ønh cßn l¹i d-íi mét
gãc
.
D¹ng 9: Chøng minh MT lµ tiÕp tuyÕn cña ®-êng trßn (O;R)
C¸ch chøng minh:
- Chøng minh OT
MT t¹i T
(O;R)
- Chøng minh kho¶ng c¸ch tõ t©m O ®Õn ®-êng th¼ng MT b»ng b¸n kÝnh
- Dïng gãc néi tiÕp.
D¹ng 10: C¸c bµi to¸n tÝnh to¸n ®é dµi c¹nh, ®é lín gãc
C¸ch tÝnh:
- Dùa vµo hÖ thøc l-îng trong tam gi¸c vu«ng.
- Dùa vµo tû sè l-îng gi¸c
- Dùa vµo hÖ thøc gi÷a c¹nh vµ gãc trong tam gi¸c vu«ng
- Dùa vµo c«ng thøc tÝnh ®é dµi, diÖn tÝch, thÓ tÝch...