Đề thi HSG toán 6

ọc sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa. ĐỀ SỐ 4 TRƯỜNG THCS NÔNG TRANG - T.P VIỆT TRÌ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINHGIỎI CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời giangiaođề)Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính. a) 3 3 3 3 3 24.47 23 7 11 1001 13 . 24 47 23 9 9 9 9 9 1001 13 7 11 A             b) M = 2 3 2012 2014 1 2 2 2 ... 2 2 2       Câu 2 (2,5 điểm) a) Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 +…+ 5 2012 . Chứng tỏ S chia hết cho 65. b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho19dư 11. c) Chứng tỏ: A = 10 n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2n) 4      Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng a o , vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng(a+ 10) o và với tia OB một góc bằng (a + 20) o Tính a o b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22 o và góc BOy bằng 48 o c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOCbằngao Câu 5 (1,5 điểm): Cho 2012 2011 2010 2009 A 10 10 10 10  8 a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN 6 Câu Ý Nội dung, đáp án Điểm1 1,5 a Đặt A=B.C 24.47 23 1128 23 1105 24 47 23 71 23 48 B         0,251 1 1 1 3 1 7 11 1001 13 1 1 1 1 1 3 9 1 1001 13 7 11 C                       0,25Suy ra 1105 144 A  0,25b M = 2 3 2012 2014 1 2 2 2 ... 2 2 2       - Đặt A = 1+2+2 2+2 3 + ...+2 2012 - Tính được A = 2 2013 – 1 0,25- Đặt B = 2 2014 – 2 - Tính được B = 2.(2 2013 – 1) 0,25- Tính được M = 1 2 0,252 2,5a S = 5 + 5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 6 +…+ 5 2012 . 0,25S = (5+5 2+5 3+5 4)+5 5(5+5 2+5 3+5 4)+....+5 2009(5+5 2+5 3+5 4) 0,25Vì (5+5 2+5 3+5 4) =78065 Vậy S chia hết cho 65 0,25 b Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6)  11 ;(a-1)  4; (a-11)  19. 0,25(a-6 +33)  11; (a-1 + 28)  4; (a-11 +38 )  19. (a +27)  11; (a +27)  4; (a +27)  19. 0,25Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) . 0,25Từ đó tìm được : a = 809 0,2510 18 1 10 1 9 27 n n A   n     n  n 0,2599.....9 9 27 n    n n 9.(11.....1 ) 27 n   n  n  0,25Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho9do đó 11.....1 9 n   n nên 9.(11.....1 ) 27 n  n  . Vậy A27 0,253 2a Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => 55 2 1 3 2 x y    (1) 0,25Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 550,25+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = 7 3 (Loại) +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =13 3 (Loại) +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 0,25+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = 1 3 (Loại) +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = 53 3 (Loại) Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 0,25b b/ Chứng minh rằng : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ... 4 6 8 2n 4      Ta có 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 4 6 8 (2 ) A n      0,252 2 2 2 1 1 1 1 ... (2.2) (2.3) (2.4) (2. ) A n      0,252 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 2 3 4 4 1.2 2.3 3.4 ( 1) A n n n                       0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 4 1 2 2 3 3 4 ( 1) A n n                 1 1 1 1 4 4 A n          (ĐPCM) 0,254 2,5Vẽ đúng hình E y x 48o 22o C D (a+20)o (a+10)o ao A O B Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. 0,25a Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng a o , vẽ tia OD tạo với tia OCCmột góc bằng (a + 10) o và với tia OB một góc bằng (a + 20) o .Tính a o 0,25Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và COD  COA(a 10  a) . Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD0,25 => AOC COD  DOB  AOB => a o + (a + 10) o + (a + 20) o = 180 o => 3.a o + 30 o = 180 o => a o = 50 o 0,25b Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22 o và góc BOy bằng 48 o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB 0,25Ta có : 180 180 48 132 22 o o o o o AOy   BOy     AOx  Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy 0,25=> 22 132 132 22 110o o o o o AOx  xOy  AOy   xOy   xOy   0,25c Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xODkhi góc AOC bằng a o 0,25V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên  10 2 10 2.50 10110o o o o o o o AOC COD  AOD  AOD  a  a   a   0,25Vì AOx (22 110 ) o o  AOD  nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD=> AOx 22 110 110 2288o o o o o  xOD  AOD   xOD   xOD Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180 o – 88 o = 92 o 0,255 1,5a Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta có :    3 2009 2008 2007 2006 2009 2008 2007 2006 A 10 10 10 10 10  8  8.125 10 10 10108 0,25  2009 2008 2007 2006 A  8.125 10 10 10 10 1 8    (1) Ta lại có các số : 10 2012 ; 10 2011 ; 10 2010 ; 10 2009 có tổng tổng các chữ số bằng1, nên các số 10 2012 ; 10 2011 ; 10 2010 ; 10 2009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng1 8 chia cho 3 dư 2. 0,25Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho3Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 0,25b Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. Ta có các số : 10 2012 ; 10 2011 ; 10 2010 ; 10 2009 đều có chữ số tận cùng là 0 0,25Nên 2012 2011 2010 2009 A 10 10 10 10  8 có chữ số tận cùng là 8 0,25Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số cóchữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9 0,25Chú ý: - Mọi cách giải thích khác nếu đúng ghi điểm tối đa. -----------HẾT------------- ĐỀ SỐ 5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP6NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁNNgày thi: 18/03/2015 Thời gian: 120 phút (Không kể thời giangiaođề)(Đề thi này có