.png)
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 1
TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ
PHẦN TỰ LUẬN
I. Vấn đề 1. Tìm tọa độ điểm
Bài 1. Trong không gian Oxyz cho điểm
(4;
5;
2)
M
−
−
.
a) Tìm tọa độ điểm I là hình chiếu vuông góc của M lên mp(Oxy)
b) Tìm tọa độ điểm E là hình chiếu vuông góc của M lên mp(Oyz)
c) Tìm tọa độ điểm F là hình chiếu vuông góc của M lên mp (Oxz)
Bài 2. Trong không gian Oxyz cho điểm
(
3; 5;
7)
A
−
−
.
a) Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu vuông góc của A lên trục Ox
b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oy
c) Tìm tọa độ điểm K là hình chiếu vuông góc của A lên trục Oz
Bài 3. Hãy mô tả hệ tọa độ Oxyz trong căn phòng ở hình bên sao
cho gốc O trùng với góc trên của căn phòng, khung tranh nằm
trong mặt phẳng (Oxy) và mặt trần nhà trùng với (Oxz)
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có các
cạnh bằng 2, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng với đáy.
Gọi O, M và N lần lượt là trung điểm của AD, BC và CD. Thiết lập
hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chóp
Bài 5. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
1,
2.
AB
SA
=
=
Thiết
lập hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, tìm tọa độ các điểm A, B, C,
D, S
Bài 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là giao điểm của AC và BD. Biết
,
SA
a
=
.
SO h
=
Xét
hệ toạ độ Oxyz với Ox, Oy, Oz tương ứng là các đường thẳng OB, OC, OS như hình vẽ. Hãy xác định
toạ độ các điểm S, A, B, C, D
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 2
Bài 7. Một chiếc khinh khí cầu bay lên tại điểm. Sau một thời gian bay, chiếc khinh khí cầu cách
điểm xuất phát về phía Đông 10km và về phía Nam 5km , đồng thời cách mặt đất 400m.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với gốc đặt tại điểm xuất phát của khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng
với mặt đất, trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông, trục Oz hướng thẳng đứng
lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét (xem hình vẽ).
a) Tìm tọa độ của chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn.
b) Xác định khoảng cách của chiếc khinh khí cầu với vị trí tại điểm xuất phát của nó.
Bài 8. Một máy bay đang cất cánh từ phi trường.
Với hệ trục tọa độ Oxyz được thiết lập như hình
bên
và
M
là
vị
trí
của
máy
bay,
14,
OM
=
o
o
32 ,
65 .
NOB
MOC
=
=
Tìm tọa độ điểm M
II. Vấn đề 2. Tọa độ của vectơ
Bài 9. Trong không gian Oxyz,
a) Cho điểm
(4;
5;
2)
M
−
−
. Tìm tọa độ của
OM
b) Cho điểm
(
4; 1;
3),
(
3;
1; 4).
A
B
−
−
−
−
. Tìm tọa độ của
AB
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 3
c) Cho điểm
(5;
2;
1)
OE
=
−
−
và điểm
(3; 0;
4).
F
−
. Tìm tọa độ của
EF
Bài 10. Trong không gian Oxyz,
a) Biết
3
2
6
u
i
j
k
=
+
−
. Tìm tọa độ của
u
b) Biết
2
3
v
i
k
j
= − +
−
. Tìm tọa độ của
v
c) Biết
2
a
i
k
= −
−
. Tìm tọa độ của
a
d) c) Biết
7
b
k
= −
. Tìm tọa độ của
b
Bài 11. Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có
(
2;
1; 3),
(2;
2; 3),
(4;
1; 4)
A
B
C
−
−
−
−
.
a) Tìm tọa độ của
.
AB
b) Tìm tọa độ của điểm D.
c) Với 3 điểm
(
;
;
),
(
;
;
),
(
;
;
)
A
A
A
B
B
B
C
C
C
A x
y
z
B x
y
z
C x
y
z
không thẳng hàng. Tìm tọa độ điểm D là đỉnh
thứ thư của hình bình hành ABCD.
Bài 12. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
(
2;
1; 3),
(2;
2; 3),
(4;
1; 4)
A
B
C
−
−
−
−
và điểm
'(
7; 0;
2)
D
−
−
. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Bài
13.
Trong
không
gian
Oxyz,
cho
hình
hộp
chữ
nhật
ABCD.A’B’C’D’ có đỉnh A trùng với gốc O, các vectơ
,
AB
,
AD
'
AA
theo thứ tự cùng hướng với
,
i
,
j
k
và có
5,
AB
=
6,
AD
=
'
9.
AA
=
Tìm toạ độ các vectơ
,
AB
,
AC
'
AC
và
AM
với M là
trung điểm của cạnh C’D
Bài 14. Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp AB trong công
trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz như hình
dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng 1m. Tìm tọa độ
của vectơ
AB
Bài 15. Ở một sân bay, vị trí của máy bay được xác định bởi điểm
M trong không gian Oxyz như bên. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của M xuống mặt phẳng
(
Oxy
)
. Biết
50,
OM
=
o
( ,
)
64 ,
i
OH
=
o
(
,
)
48 .
OH OM
=
Tìm tọa độ của
AM
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 4
PHẦN TRẮC NGHIỆM
1. Phần trắc nghiệm nhiều phương án.
Câu 1. Trong không gian Oxyz , với
(
;
;
)
M x y z
thì
OM
bằng:
A.
xi
y j
zk
−
−
−
B.
xi
y j
zk
−
−
C.
xi
y j
zk
+
+
D.
x j
yi
zk
+
+
Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho
2
3 .
a
i
j
k
= − +
−
Tọa độ của vectơ a
a
là:
A.
(
1; 2;
3)
a
= −
−
B.
(2;
1;
3)
a
=
−
−
C.
(
3; 2;
1)
a
= −
−
D.
(2;
3;
1)
a
=
−
−
Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho
(2; 2; 1).
A
Tọa độ của vectơ a
OA
là:
A.
(2; 0; 0)
B.
(2; 2; 0)
C.
(2; 0; 1)
D.
(2; 2; 1)
Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm
(1; 1;
2)
A
−
và
(2; 2; 1).
B
Tọa độ của vectơ
AB
là:
A.
(
1;
1;
3)
−
−
−
B.
(3; 1; 1)
C.
(1; 1; 3)
D.
(3; 3;
1)
−
Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(1; 1;
2)
C
−
và
(
3; 2;
1).
u
= −
−
Tọa độ điểm D thỏa mãn
CD u
=
là:
A.
(
1;
1;
3)
−
−
−
B.
(
2; 3;
3)
−
−
C.
(1; 1; 3)
D.
(3; 3;
1)
−
Câu 6. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(
)
;
;
.
2 5 1
M
−
Hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên trục
Oy
là điểm
A.
(
)
;
;
2 0 1
M
−
.
B.
(
)
;
;
M
−
0
5 0
.
C.
(
)
;
;
.
0 5 0
M
D.
(
)
;
;
M
−
2 0 0
.
Câu 7. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(
)
;
;
.
3
2 4
N
−
Hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên trục
Ox
là điểm
A.
(
)
'
;
;
.
3 0 0
N
B.
(
)
'
;
;
.
0
2 0
N
−
C.
(
)
'
;
;
.
0 0 4
N
D.
(
)
'
;
;
.
0
2 4
N
−
Câu 8. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(
)
;
;
.
5 1
3
K
−
−
Hình chiếu vuông góc của điểm
M
trên trục
Oz
là điểm
A.
(
)
;
;
.
5 0 0
K
−
B.
(
)
;
;
.
0 1 0
K
C.
(
)
;
;
.
5 1 0
K
−
D.
(
)
'
;
;
.
0 0
3
K
−
Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(
)
;
;
1 2
3
A
−
, hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng
(
)
Oxy
là điểm
A.
(
)
'
;
;
1 2 0
A
B.
(
)
'
;
;
1 0
3
A
−
C.
(
)
'
;
;
0 0
3
A
−
D.
(
)
'
;
;
1 2 3
A
Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(
)
;
;
3
5 4
B
−
, hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng
(
)
Oxz
là điểm
A.
(
)
'
;
;
0
5 0
B
−
B.
(
)
'
;
;
0
5 4
B
−
C.
(
)
'
;
;
3 0 4
B
D.
(
)
'
;
;
3 5
4
B
−
−
Câu 11. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(
)
;
;
4
2 5
C
−
−
, hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt
phẳng
(
)
Oyz
là điểm
A.
(
)
'
;
;
4 0 5
C
−
B.
(
)
'
;
;
4 0
5
C
−
C.
(
)
;
;
4 0 0
C
−
D.
(
)
'
;
;
0
2 5
C
−
Câu 12. Trong không gian Oxyz, cho M nằm trên tia đối của tia Ox và
2.
OM
=
Tọa độ của điểm M
là:
A.
(
)
;
;
2 0 0
M
B.
(
)
;
;
0
2 0
M
−
C.
(
)
;
;
2 0 0
M
−
D.
(
)
;
;
0 0
2
M
−
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 5
Câu 13. Trong không gian Oxyz, cho P nằm trên tia Oz và
3.
OP
=
Tọa độ của điểm P là:
A.
(
)
;
;
0 0
3
P
−
B.
(
)
;
;
3 0 0
P
C.
(
)
;
;
0
3 0
P
D.
(
)
;
;
0 0
3
M
Câu 14. Trong không gian Oxyz, cho K nằm trên tia đối của tia Oy và
1
5.
OM
=
+
Tọa độ của điểm
M là:
A.
(
)
;
;
1
5 0 0
K
+
B.
(
)
;
;
0 1
5 0
K
+
C.
(
)
;
;
1
5 0
K
D.
(
)
;
;
0
1
5 0
K
− −
Câu 15. Cho 3 điểm
(2; 0; 0),
(0;
3; 0),
(0; 0; 4).
M
N
P
−
Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của điểm
Q là
A.
(
)
;
;
2
3 4
Q
−
−
B.
(
)
;
;
2 3 4
Q
C.
(
)
;
;
3 4 2
Q
D.
(
)
;
;
2
3
4
Q
−
−
−
Câu 16. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
(0; 0; 0),
A
(3; 0; 0),
B
(0; 3; 0),
D
'(0; 3;
3).
D
−
Toạ độ điểm B
là
A.
(
)
;
;
3 0
3
−
B.
(
)
;
;
1 2
1
−
C.
(
)
;
;
2 1
1
−
D.
(
)
;
;
1 1
2
−
Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ ABC.A’B’C
có các đỉnh
(2; 1; 2),
A
(1;
1; 1),
B
−
(0;
2; 0),
C
−
'(4; 5;
5).
C
−
Toạ độ điểm
'
BA
là
A.
(
)
;
;
5 9
4
−
B.
(
)
;
;
1 2
1
−
C.
(
)
;
;
2 1
1
−
D.
(
)
;
;
1 1
2
−
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên trục Oz?
A.
(
)
;
;
1 0 0
M
B.
(
)
;
;
0 1 0
N
C.
(
)
;
;
0 0 2
P
D.
(
)
;
;
2 1 0
Q
Câu 19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, điểm nào sau đây nằm trên mặt phẳng (Oxy)?
A.
(
)
;
;
0 1 2
E
B.
(
)
;
;
0 0 2
F
C.
(
)
;
;
2 0 0
G
D.
(
)
;
;
1 2 3
H
Câu 20. Trong không gian Oxyz, cho điểm
(3; 1; 0)
M
và
(
1;
1; 0).
MN
= −
−
Tìm tọa độ của điểm N
A.
(
)
;
;
2 0 0
N
−
B.
(
)
;
;
2 0 0
N
C.
(
)
;
;
4 2 0
N
D.
(
)
;
;
4
2 0
N
−
−
2. Phần trắc nghiệm đúng - sai.
Câu 21. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết
(1; 0; 1),
A
(2; 1; 2),
B
'(4; 5;
5),
C
−
(1;
1; 1).
D
−
a)
'
'
2
'
0
AC
CA
C C
+
+
=
b)
(2; 0; 4)
C
c)
'(4; 6;
5)
B
−
d)
'(4; 4; 6)
D
Câu 22. Trong không gian Oxyz, cho
2
3
,
2
3 .
u
i
j
k
a
i
j
k
=
+
−
= − +
−
Các khẳng định sau đúng hay
sai?
a)
(2; 0;
1)
u
=
−
b)
(
1; 2;
3)
a
= −
−
c) Nếu
OM u
=
thì
(2; 3;
1).
M
−
d) Nếu
,
OM u MN
a
=
=
thì
(1;
2; 3).
N
−
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 6
Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 3, SA = 4 và SA
⊥
(ABCD). Chọn
hệ trục Oxyz có gốc toạ độ tại A; các điểm B, D, S lần lượt trên các tia Ox, Oy, Oz.
a)
(
)
0; 0; 0
A
b)
(
)
0; 3; 0
B
c)
(
)
3; 0; 0
C
d)
(
)
4; 0; 0
S
Câu 24. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
2,
3,
'
4.
AB
AD
AA
=
=
=
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz có gốc O trùng với A, các điểm B; D; A’ lần lượt thuộc Ox; Oy; Oz.
a)
'
4
AA
k
= −
b)
2
AB
i
=
c)
2
AD
i
=
d)
'(2; 3; 4)
C
Câu 25.
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành
ABCD
. Biết
(
1; 1; 2),
(1; 0; 3),
(0; 2;
2)
A
B
C
−
−
a)
(
1; 2;
5)
BC
= −
−
b)
2
AB
i
j
k
=
− +
c)
(
2; 3;
3)
D
−
−
d)
2
5
AD
i
j
k
= − +
+
Câu 26. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát
2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách
điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km.
Chọn hệ trục Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng
với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng
đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilômet.
a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là
(2; 1; 0, 5)
b) Với hệ tọa độ đã chọn, toạ độ khinh khí cầu thứ hai là
(
1, 5;
1; 0, 8).
−
−
c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng
21
km .
d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là 3,92 km (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
3. Phần trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 27. Trong không gian Oxy, cho hai vectơ
(3; 2; 5)
a
=
và
(3
2; 3; 6
).
b
m
n
=
+
−
Tính giá trị biểu
thức
6
2
m
n
+
để
a
b
=
Bài tập Toán 12 – Năm học 2025 - 2026
Giáo viên: Đỗ Thị Phượng – 093 103 7979 7
Câu 28. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
(1; 2;
1),
(2;
1; 3),
(
2; 3; 3).
A
B
C
−
−
−
Điểm
(
;
;
)
M a b c
là
đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM. Tính giá trị của biểu thức
2
2
2
P
a
b
c
=
+
+
Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có
(4; 6;
5),
A
−
(5; 7;
4),
B
−
(5; 6;
4),
C
−
'(2; 0; 2).
D
Biết tọa độ điểm
'(
;
;
)
C a b c
, tính giá trị của biểu thức
2
2
2
P
a
b
c
=
+
−
Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho
(3;
2;
1)
A
−
−
. Gọi B, C, D, E lần lượt là điểm đối
xứng của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy), ( Oyz) , (Ozx ) và gốc O. Tìm tích các tung độ
của các điểm B, C, D, E