CHUYÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
I. Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết
1. Kiến thức:
* Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có một nhân tử làm
hoặc bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử có các đoi một nguyên tố
cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó
* Chú ý:
+ Với k số nguyên liên tiếp bao giờ củng tồn tại một bội của k
+ Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m
+ Với mọi số nguyên a, b và số tự nhiên n thì:
2. Bài tập:
2. Các bài toán
Bài 1: chứng minh rằng
a) 2
51
- 1 chia hết cho 7
b) 2
70
+ 3
70
chia hết cho 13
c) 17
19
+ 19
17
chi hết cho 18 d) 36
63
- 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho 37
e) 2
4n
-1 chia hết cho 15 với n
Î
N
Giải
a) 2
51
- 1 = (2
3
)
17
- 1
2
3
- 1 = 7
b) 2
70
+ 3
70
(2
2
)
35
+ (3
2
)
35
= 4
35
+ 9
35
4 + 9 = 13
c) 17
19
+ 19
17
= (17
19
+ 1) + (19
17
- 1)
17
19
+ 1
17 + 1 = 18 và 19
17
- 1
19 - 1 = 18 nên (17
19
+ 1) + (19
17
- 1)
hay 17
19
+ 19
17
18
d) 36
63
- 1
36 - 1 = 35
7
36
63
- 1 = (36
63
+ 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2
4n
- 1 = (2
4
)
n
- 1
2
4
- 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n
5
- n chia hết cho 30 với n
Î
N ;
b) n
4
-10n
2
+ 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n
Î
Z
c) 10
n
+18n -28 chia hết cho 27 với n
Î
N ;
Giải:
Trang 1
+) a
n
- b
n
chia hết cho a - b (a - b)
+) a
2n + 1
+ b
2n + 1
chia hết cho a + b
+ (a + b)
n
= B(a) + b
n
+) (a + 1)
n
là BS(a )+ 1
+)(a - 1)
2n
là B(a) + 1
+) (a - 1)
2n + 1
là B(a) - 1
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần