.png)
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC
A.
LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa:
- Các mệnh đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)
- Các mệnh đề: “
A
B
” hoặc “
A
B
“ được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.
2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:
- Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả
của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D
- Nếu BĐT A > B là hệ quả của BĐT C > D và C > D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A > B thì ta
nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A > B <=> C > D
3. Tính chất:
-
A
B
A C
B C
( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)
-
.
.
,
0
.
.
,
0
A
B
AC
BC C
A
B
AC
BC C
(Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)
-
,
A
B C
D
A C
B
D
( Cộng hai BĐT cùng chiều)
-
,
,
,
0
A
B C
D
AC
BD A C
(Nhân hai BĐT cùng chiều)
-
2
1
2
1
n
n
A
B
A
B
hoặc
2
2
n
n
A
B
Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa)
-
,
0
A
B
A
B A
(Khai căn hai vế của một BĐT)
-
a
b
a
b
a
b
(Tính chất giá trị tuyệt đối).
B.
LUYỆN TẬP
Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA: A > B TA XÉT HIỆU A – B > 0, CHÚ Ý BĐT
2
0
A
Bài 1: CMR : với mọi x, y, z thì
2
2
2
x
y
z
xy
yz
zx
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2
2
2
2
2
0
0
x
y
z
xy
yz
zx
x
y
y
z
z
x
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z
Bài 2: CMR : với mọi x, y, z thì
2
2
2
2
2
2
x
y
z
xy
yz
zx
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2
2
2
2
2
0
0
x
y
z
xy
yz
zx
x
y
z
Dấu bằng xảy ra khi x + z = y
Bài 3: CMR : với mọi x, y, z thì
2
2
2
3
2
x
y
z
x
y
z
HD:
Xét hiệu ta có:
2
2
2
1
1
1
0
x
y
z
, Dấu bằng khi x = y = z = 1
Bài 4: CMR : với mọi a, b ta có :
2
2
2
2
2
a
b
a
b
HD :
1