.png)
BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)
A: LÝ THUYẾT
1. Tên gọi:
Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân.
Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.
2. Định nghĩa:
Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.
3. Tổng quát:
Ở cấp THCS, Tài liệu Toán xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:
-
Với
,
0
a b
thì
2
a
b
ab
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi
a
b
-
Với
,
,
0
a b c
thì
3
3
3
a
b c
abc
, Dấu “ = “ khi và chỉ khi
a
b
c
B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG
Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC
Bài 1: Cho
,
,
0
x y z
, CMR :
8
x
y
y
z
z
x
xyz
HD:
Áp dụng Cô si cho hai số
,
0
x y
, ta có:
2
x
y
xy
,
Làm tương tự ta sẽ có :
2
2
y
z
yz
z
x
zx
, Nhân theo vế ta được:
8
x
y
y
z
z
x
xyz
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
x
y
y
z
x
y
z
z
x
Bài 2: Cho
,
,
0
a b c
và
1
abc
, CMR:
1
1
1
8
a
b
c
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm
,1
a
, ta có :
1
2
a
a
Tương tự ta sẽ có :
1
2
1
1
1
8
8
1
2
b
b
a
b
c
abc
c
c
Dấu “ = “ khi và chỉ khi:
1
a
b
c
Bài 3: Cho
,
a b
không âm. CMR:
1
4
a
b
ab
ab
HD :
Áp dụng Cô si cho hai số không âm
,
a b
, ta có :
2
a
b
ab
Tương tự :
1
2
ab
ab
, nhân theo vế ta được :
1
4
a
b
ab
ab
1