Chuyên đề 5. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI
A. Kiến thức cần nhớ
Trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị thì bất đẳng thức Cô-si được ví như
viên kim cương bởi tính ưu việt trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác cũng
như tìm cực trị. Trong chương trình THCS chủ yếu là vận dụng bất đẳng thức Cô-si
cho hai số không âm. Do vậy trong chuyên đề này sẽ chỉ nêu ứng dụng trong việc giải
các bài toán bằng việc vận dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
• Bất đẳng thức Cô-si: cho hai số x, y không âm, ta có:
2
x
y
xy
hoặc
2
x
y
xy
Dấu bằng chỉ xảy ra khi
.
x
y
Bất đẳng thức Cô-si còn được gọi là bất đẳng thức về trung bình cộng và trung bình
nhân (AM-GM).
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, ta có:
4
3
5
2
2
3
a
b
c
ab
bc
ca
Đẳng thức xảy ra khi nào?
(Thi học sinh giỏi Toán 9, tỉnh Gia Lai)
Giải
Tìm cách giải. Nhận thấy vế phải xuất hiện
2
3
,
ab
bc
ca
do vậy rất tự nhiên
chúng ta nghĩ tới việc dùng bất đẳng thức Cô-si. Vấn đề còn lại là tách vế trái thành
những hạng tử thích hợp nhằm khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si thì lần lượt xuất
hiện các hạng tử vế phải.
Trình bày lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
1
2
2
4
2
3
3
6
3
a
b
ab
b
c
bc
a
c
ca
Từ ( 1 ), (2) và (3) cộng vế với vế ta được:
4
3
5
2
2
3
a
b
c
ab
bc
ca
Đẳng thức xảy ra khi
.
a
b
c
Ví dụ 2: Cho
1.2019
3.2017
5.2015
...
2019.1.
S
So sánh S với
2
1010
Giải
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần