Chuyên đề Đại số trong hình học Đào chí Thanh CVP
SỬ DỤNG HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI MỘT VÀI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ
Để giải một bài toán thông thường ta hay gắn bài toán đó vào một dạng
bài tập nào đó, sau đó sử dụng các kiến thức đã biết về dạng toán đó.Nếu
bài toán đó ở phân môn đại số thì ta thường nghĩ đến các phương pháp
của đai số để giải nó Từ đó, ta có thể giải bài toán .Song nếu để ý kỹ hơn
thì một số bài toán đại số có thể giải bằng phương pháp hình học và cách
giải của nó rất trong sáng .Để làm rõ thêm vấn đề này, tôi có một vài ví
dụ sau.
1.Hệ phương trình
Ví dụ 1 : Tìm ba số dương x; y ; z thoã mãn:
2
2
2
2
2
2
x
xy
y
4
y
zy
z
9
z
xz
x
36
Nhìn vào biểu thức ở vế trái ta thấy nó giống công thức
cô sin trong tam giác.Trong tam giác ABC Xét điểm O ở
trong
△
ABC sao cho : x = OA > 0 . y = OB >0; z = OC
> 0 góc giữa OA,OB = 120
0
. ( OC,OB) = 120
0
(OA,OC)
= 120
0
như hình vẽ ( O là điêm Tolicelli) Theo ĐL cosin
Ta có : AC
2
= x
2
+ z
2
+ xz = 36 hay AC = 6
AB
2
= x
2
+ y
2
+ xy = 4 hay AB = 2
BC
2
= y
2
+ z
2
+ yz = 9 hay BC = 3
Nhưng AC > AB + BC nên không tồn tại x,y, z dương thoả
mãn ĐK bài toán .
Ví dụ 2 : Giải hệ phương trình sau :
2
2
2
2
3xy 10y
3
(x
2)
(y
4)
(x
5)
(y
8)
5
Xét các điểm A( 2;4) ;B(5;8) , M(x;y) thì MA =
2
2
2
2
(x
2)
(y
4)
MB
(x 5)
(y
8)
Rõ ràng với ba điểm A,B,M tuỳ ý ta có MA + MB
AB = 5
Dầu bằng khi
x
2
y
8
4x
3y
4
0
x
5
y
4
Vậy ta có hệ :
4x
3y
4
0
3xy 10y
3
giải hệ này ta có : nghiệm của hệ x = 3,5; y = 6
Ví dụ 3 : (AN NINH -1999) Giải hệ phương trình
2
y
1
y
x
y
x
1
y
x
x
18
y
1
y
x
y
x
1
y
x
x
2
2
2
2
Giải: Ta có hệ tương dương với
10
9
y
9
x
8
y
x
2
2
xét véc tơ
a
= (x;3) ;
b
= (y;3) ;khi đó
a
+
b
= (x + y; 6)
mà
∣
a
∣ + ∣
b
∣
∣
a
+
b
∣
10
9
y
9
x
2
2
dấu bằng xảy ra khi x = y = 4
Vậy hệ có nghiệm (4;4)
Ví dụ 4 : (Olimpic 30 – 4 - 2000) Cho x, y ,z dương thoả mãn
x
y
z
A
O
B
C
Để tải trọn bộ chỉ với 50k, vui lòng liên hệ qua Zalo 0898666919 hoặc Fb: Hương Trần